Aloha :)
Mit den Mitteln der Infinitesimalrechnung können wir nur die Extrema über einer offenen Definitionsmenge bestimmen. Daher führen wir eine Fallunterscheidung durch.
1. Fall: \(-1<x<0\)$$f(x)=-\frac x2+1\implies f'(x)=-\frac12\ne0$$Die Funktion besitzt in diesem Fall kein Extremum.
2. Fall: \(x=-1\)
Im 1-ten Fall haben wir erfahren, dass \(f'(x)<0\) ist. Daher ist die Funktion für \(x<0\) streng monoton fallend.
Also muss bei an der Stelle \(x=-1\) ein sog. Randmaximum vorliegen.
3. Fall: \(0<x<3\)$$f(x)=-x^2+2x+1\implies f'(x)=-2x+2\implies f''(x)=-2$$Für \(x=1\) ist die erste Ableitung gleich Null und die zweite Ableitung negativ.
Daher liegt bei \(x=1\) ein Maximum vor.
4. Fall: \(x=0\)
Die Funktion ist an der Stelle \(x=0\) stetig, denn der Funktionswert ist dort \(f(0)=1\) und dasselbe gilt für den linksseitigen Grenzwert:$$\lim\limits_{x\nearrow0}\left(-\frac x2+1\right)=0+1=1$$
Nach dem 1. Fall fällt die Funktion für \(x<0\) streng monoton.
Nach dem 3. Fall ist \(f'(x)>0\) für \(0<x<1\), also steigt die Funktion streng monoton.
Das heißt, bei \(x=0\) hat die Funktion ein Minimum.
Zusammenfassung:
Randmaximum bei \(x=-1\) und Minimum bei \(x=0\) und Maximum bei \(x=1\)
~plot~ (-x/2+1)*(-1<=x)*(x<0) ; {-1|1,5} ; (-x^2+2x+1)*(x>=0)*(x<3) ; {0|1} ; {1|2} ; [[-2|4|-2,5|2,5]] ~plot~
Bei \(x=3\) liegt kein Minimum vor, weil die Funktion für \(x=3\) nicht defniert ist.
