die uneigentlichen Integrale bestimmen. Konvergieren Sie?

Question

Hallo!

Aufgabe:

es handelt sich um die folgende Aufgabenstellung:

Aufgabe: konvergieren die folgenden uneigentliche Integrale?

g)

\( \begin{array}{l} \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b} \frac{x}{x^{2}+1} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b} \frac{x}{u} \cdot \frac{1}{2 x} d u \\ =\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{b} \frac{1}{u} d u \\ =\left.\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \frac{1}{2} \cdot \ln |u|\right|_{0} ^{b} \\ u=x^{2}+1\end{array} \)
\( \frac{d u}{d x}=2 x \)
\( d u=2 x d x \)
\( d x=\frac{1}{2 x} d u \)

Problem/Ansatz:

Wie muss ich hier eigentlich vorgehen? Ich habe hier als Grenzen sowohl 0 als auch unendlich. Ich habe für unendlich = b eingesetzt, aber was muss ich dann statt der Null hinschreiben ? c oder a? Das funktioniert ja so auch nicht, oder?

Answer 1

\(\begin{aligned} \int_{0}^{\infty}\frac{x}{x^{2}+1} & =\lim_{b\to\infty}\left(\left.\frac{1}{2}\ln\left|x^{2}+1\right|\right|_{0}^{b}\right)\\ & =\frac{1}{2}\lim_{b\to\infty}\left(\ln\left|b^{2}+1\right|-\ln\left|0^{2}+1\right|\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\lim_{b\to\infty}\left(\ln\left|b^{2}+1\right|\right)-\lim_{b\to\infty}\underbrace{\left(\ln\left|0^{2}+1\right|\right)}_{=0}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\lim_{b\to\infty}\left(\ln\left|b^{2}+1\right|\right)\right)\\ & =\infty \end{aligned}\)

weil \(b\to\infty \implies \left|b^2 + 1\right|\to \infty\) und \(\lim\limits_{x\to\infty}\ln x = \infty\).

Comments

Vielen vielen Dank Oswald!!

Answer 2

Wenn du die Substitution wieder rückgängig machst hast du doch:

\( \int  \frac{x}{x^{2}+1} d x= \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1 ) \) Betrag nicht nötig.

Also von 0 bis ∞ kannst du die 0 lassen (Da ist ja alles definiert.) und

als obere Grenze das b gegen unendlich gehen lassen. Also

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{x}{x^{2}+1} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty} \int \limits_{0}^{b} \frac{x}{x^{2}+1} d x=\lim \limits_{b \rightarrow \infty}  (  \frac{1}{2} \ln(b^2 + 1 ) - \frac{1}{2} \ln(0^2 + 1 )) \)

\( =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}  (  \frac{1}{2} \ln(b^2 + 1 ) - \frac{1}{2} \ln(1 ))=\lim \limits_{b \rightarrow \infty}  (  \frac{1}{2} \ln(b^2 + 1 ) - \frac{1}{2} \ln(1 )) \)

\( =\lim \limits_{b \rightarrow \infty}    \frac{1}{2} \ln(b^2 + 1 ) = +\infty\)

Comments

Alles klar, danke dir mathef! Hast du eigentlich nix substituiert? Denn im Zähler steht ja fast schon die Ableitung vom Nenner. Bist du so vorgegangen? Wenn ja, dann braucht man wirklich nichts substituieren.

Und leider kann ich deine Antwort nicht als "beste Antwort" wählen, da ich schon eine Antwort gewählt habe. Aber vielen Dank für die Erklärung, je öfter man die Dinge erklärt bekommt, desto verständlicher werden die Aufgaben.

Answer 3

Wenn es nur um Konvergenz bzw. Divergenz geht, versucht man oft den Integranden durch einfachere Integranden abzuschätzen, für die man die uneigentlichen Integrale kennt.

Das ist oft einfacher, als zu versuchen, die Stammfunktion zu bestimmen (was zwar im gegebenen Beispiel glücklicherweise einfach ist).

Für solche Abschätzungen kann es günstig sein, den Integrationsbereich etwas zu verkleinern:

$$\int_1^{\infty} \frac x{x^2+1}\; dx = \int_1^{\infty} \frac 1x \cdot \frac 1{1+\frac 1{x^2}}\; dx \geq \frac 12 \int_1^{\infty} \frac 1x \; dx =+\infty$$

Da \(\int_0^{1} \frac x{x^2+1}\; dx\) eine feste Zahl ist, ändert sie nicht das Konvergenzverhalten des Integrals.

Comments

Erstmal danke dir trancelocation für deine Antwort, aber hier braucht man keine Abschätzung machen. Denn der Prof. will nur wissen, ob der Grenzwert existiert, also ob's konvergiert. Also man muss zuerst das Integral lösen und dann entscheiden, ob's konvergiert, so meint es der Prof. :)