Aloha :)
Die kritische Stelle ist hier der Übergangspunkt bei \(x=1\). Damit die Funktion an dieser Stelle stetig ist, müssen der linksseitige Grenzwert, der rechtsseitige Grenzwert und der Funktionswert dort gleich sein.
1) Funktionswert bei \(x=1\)
Wir können \(x=1\) in die obere Definition der Funktion einsetzen:$$f(1)=a\cdot1+\sin(1-1)=a$$
2) Rechtsseitiger Grenzwert für \(x\to1\)
Wir kommen von rechts, also ist \(x>1\). Das heißt, wir verwenden die obere Definition:$$\lim\limits_{x\searrow1}f(x)=\lim\limits_{x\searrow1}\left(ax+\sin(x-1)\right)=a\cdot1+\sin(1-1)=a$$
3) Linksseitiger Grenzwert für \(x\to1\)
Wir kommen von links, also ist \(x<1\). Das heißt, wir verwenden die untere Definition:$$\lim\limits_{x\nearrow1}f(x)=\lim\limits_{x\nearrow1}|x-3|=|1-3|=2$$
Die Funktion ist daher nur stetig, wenn \(a=2\) gilt.
