funktionsterm bilden mit vorgaben

Question

Aufgabe:

Ich muss einen Funktionsterm bilden der Folgende Anforderungen erfüllt:

achsensymmetrisch, vierten Grades, Nullstellen 1 und 3 und schneidet die y-Achse bei 3
Problem/Ansatz:

egal was wir probieren under funktions term erfüllt die anforderungen nicht komplett und sieht im taschenrechner komisch aus hilfe

Answer 1

Aloha :)

Wir haben Nullstellen bei \(1\) und \(3\).

Wegen der Achsensymmetrie liegen dann auch Nullstellen bei \((-1)\) und \((-3)\).

Damit können wir den Funktionsterm bis auf einen konstanten Faktor \(a\) hinschreiben:$$f(x)=a\cdot(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)=a(x^2-1)(x^2-9)$$

Der Graph schneidet die \(y\)-Achse bei \(f(0)=3\). Daraus erhalten wir die Konstante \(a\):$$3\stackrel!=f(0)=a\cdot(-1)\cdot(-9)=9a\implies a=\frac13$$

Damit lautet die gesuchte Funktion:$$f(x)=\frac13(x^2-1)(x^2-9)$$

~plot~ 1/3*(x^2-1)*(x^2-9) ; [[-5|5|-6|6]] ~plot~

Comments

DANKE! !! ICh liebe dir

Answer 2

Da 4. Grades und achsensymmetrisch, müssen auch x=-1 und x=-3 Nullstellen sein. Also

$$P(x) = a(x+1)(x-1)(x+3)(x-3) = a(x^2-1)(x^2-9)$$

$$P(0) = a(-1)(-9) = 9a =3 \Rightarrow a=\frac 13$$

Bildchen ist hier.

Answer 3

Hallo

a symmetrisch

y=ax^4+bx^2+c

"schneidet die y-Achse bei 3 heisst f(0)=3 also c=3

jetzt y=ax^4+bx^2+3 =0 für x=1 und x=3 also die x einsetzen und du hast 2 einfache lineare Gleichungen für a und b.

Gruß lul

Answer 4

Ansatz: f(x)=a(x²-1)(x²-9). P(0|3) einsetzen und a ausrechnen.

Answer 5

Willkommen in der Mathelounge,

ein Funktionsgleichung 4. Grades lässt sich darstellen durch

\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)

Wegen der Achsensymmetrie, fallen die Summanden mit ungeradem Exponenten weg, also

\(f(x)=ax^4+cx^2+e\)

Nullstellen bei x = 1 und x = 3 bedeutet

\(f(1)=0\Rightarrow a+c+e=0\\ f(3)=0\Rightarrow 81a+9c+e=0\)

Schnittpunkt mit der y-Achse bei y = 3

\(f(0)=3\Rightarrow e = 3\)

Damit bleiben für a und c die Gleichungen

\( a+b=-3\\ 81a+9c=-3\)

Löse dieses Gleichungssystem mit einem Verfahren deiner Wahl und melde dich, falls du noch Fragen dazu hast.

Gruß, Silvia

zur Kontrolle:

[spoiler]

\(f(x)=\frac{1}{3}x^4-\frac{10}{3}x^2+3\)

[/spoiler]

Answer 6

also:

achsemsymmetrisch bedeutet, dass der Term nur gerade Exponenten haben darf. Daraus folgt also $$f(x) = ax^4+bx^2+c$$

Die Nullstelle (1,0) liefert: f(1)=0, also:

$$a\cdot1^4+b\cdot1^2+c=0$$ und damit $$a+b+c=0$$

Die Nullstelle (3,0) liefert f(3)=0, also:

$$a\cdot3^4+b\cdot3^2+c=0$$ udn damit $$81a+9b+c=0$$

Die Schnittstelle mit der y-Achse (0,3) liefert f(0)=3, also:

$$a\cdot0^4+b\cdot0^2+c=3$$ und damit $$c=3$$

Könnt ihr damit schonmal was anfangen? Jetzt haben wir ja einen Wert für c, setzen den dann in eine der beiden ersten Gleichungen ein und rechnen dann a und b aus. Hoffe das hilft :)