Der Mittelpunkt des Umkreises eines jeden Dreiecks ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. In einem gleichseitigen Dreieck gilt, dass die zusammen gehörenden Höhen, Mittelsenkrechten und Winkelhalbierenden jeweils aufeinander liegen.
Das bedeutet, dass wenn man einen der Radien bis auf die gegenüberliegende Seite verlängert, ein kleines,rechtwinkliges Dreieck entsteht, dass als Hypotenuse den Radius des Umkreises und als eine Kathete die halbe Seitenlänge des großen Dreiecks hat. Da die Hypotenuse gleichzeitig die Winkelhalbierende des großen Dreiecks ist, kennen wir den Winkel der zwischen Hypotenuse und Kathete liegt, denn der ist gerade halb so groß wie ein Innenwinkel im gleichseitigen Dreieck (also 60°/2 = 30°)
Es gilt also:
cos 30° = 0,5 *10cm / r
r = 5 cm / cos 30° = 5 / (1/2 √3) cm = 10/ √3 cm = 10/3 *√3 cm ≈ 5,77 cm
Der Flächeninhalt des Umkreises lässt sich mit dem gerade ermittelten Radius einfach bestimmen:
A = π * r2 = π *100/9 *3 cm2 = 100/3 * π cm2 ≈ 104,72 cm2
Der Radius des Innkreises ist die andere Kathete des im ersten Aufgabenteil bereits betrachteten kleinen Dreiecks. (Die Verlängerung des Umkreisradius auf die gegenüberliegende Seite)
Somit gilt:
tan 30° = ri/5cm
ri = tan 30° * 5cm = √3 / 3 * 5cm = 5/3 * √3 cm
Damit lässt sich der Flächeninhalt des Inkreises bestimmen:
Ai = π * ri2 = π *25/9 *3 cm2 = 25/3 * π cm2 ≈ 26,18 cm2
Da 25/3 * π cm2 * 4 = 100/3 * π cm2, ist Lenas Behauptung richtig.
