Matrix einer Abbildung abgeben

Question

Aufgabe: Matrix einer Abbildung abgeben

Problem/Ansatz;

Wäre nett wenn mir hier jemand helfen könnte, die Aufgabe baut noch auf andere auf, daher sehr dringend

Text erkannt:

Aufgabe 4 (Geschickte Basen) 1. Für \( 1 \leq r \leq n \), können wir auf \( K^{n} \) die Projektion auf die ersten \( r \) Koordinaten als lineare Abbildung
\( \mathbf{v}=\left(\begin{array}{c} P_{r}: K^{n} \rightarrow K^{n} \\ \vdots \\ x_{r} \\ x_{r+1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \mapsto P_{r}(\mathbf{v}):=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{r} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) \)
auffassen. Diese Abbildung erfüllt sichtbar für alle \( \mathbf{v} \in K^{n} \), dass \( P_{r}\left(P_{r}(\mathbf{v})\right)=P_{r}(\mathbf{v}) \). Geben Sie die Matrix der Abbildung \( P_{r} \) an.

Comments

Hallo mach das doch erstmal im R^3 oder K^4

wie immer die Spalten der Matrix sind die Bilder der Standard Basisvektoren-

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

Wenn du dir den Bildvektor etwas anders aufschreibst$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_r\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+x_r\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+x_{r+1}\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}+\cdots+x_n\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$$wird die Abbildungsmatrix klar:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_r\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccccc|c}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & 0 & \cdots & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_r\\x_{r+1}\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$$