Zeige, dass ν : A → ℝ* ein Maß ist mit

Question

Aufgabe:

SeiA eine σ-Algebra. Zeige, dass ν : A → ℝ* ein Maß ist mit

v(A)=(card(A) für A endlich, ∞ sonst)

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ℝ*=ℝ ∪ {−∞,∞}

Defininition Maß: Ein Inhalt µ : A → ℝ*≥0 auf einer σ-Algebra A heißt Maß, wenn er σ-additiv
ist, d.h. wenn für jede disjunkte Familie H :ℕ → A gilt:

μ(∪_i∈ℕ H_i) = lim_n→∞(\( \sum\limits_{k=1}^{n} \)μ(H_i)

Answer 1

Hallo,

qua Definition gilt \(\operatorname{card}(\varnothing)=0\). Erste Bedingung, die erfüllt sein muss, gilt also.

Wie steht's um die \(\sigma\)-Additivität? Wenn \(A_1,A_2,...\) paarweise disjunkt sind, was kannst du über \(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\) - ist das eine endliche Menge oder unendliche Menge? Was erhältst du, wenn du \(\sum \limits_{i=1}^{\infty}\operatorname{card}\left(A_i\right)\) berechnest? (Hier sind die \(A_i\) endlich/unendlich?)