Häufungspunkt, Isoliert Punkt, Randpunkt in der Menge bestimmen

Question

Aufgabe: Häufungspunkt, Isoliert Punkt, Randpunkt in der Menge bestimmen

Sei M := (0, 1] ∪ {2} ⊂ R; M ist eine beschränkte Menge.
(0, 1) ist die Menge der inneren Punkte, [0, 1] die der Häufungspunkte, {0, 1, 2}
die der Randpunkte, {2} die der isolierten Punkte und M = [0, 1] ∪ {2}

Problem/Ansatz:

… Für mich macht echt alles Sinn nur versteh ich nicht, warum 0 ein Randpunkt ist. Denn ich dachte, dass bspw. der Intervall (0,1) gar keine RP, sondern nur innere Punkte hat.

Wir haben folgende Definition für Randpunkte bekommen:

Sei M ⊂ X. Dann heißt x0 ∈ X ”Randpunkt von M“
(Schreibweise: ”x0 ∈ ∂M“) :⇔
∀ε > 0 ∃x ∈ B(x0, ε) ∩M und ∃y ∈ B(x0, ε) ∩Mc. Würde nach der Definition beispielsweise in einem Intervall (0,1) auch 0 und 1 Randpunkte sein, denn wenn man hier ein super, super kleines ε wählen würde, wäre die obige Definition erfüllt.  

Answer 1

Du sagst es doch selbst: Nach dieser Def. (und an die musst du dich halten)

sind 0 und 1 Randpunkte von (0,1), die allerdings selbst nicht zur Menge gehören.

Comments

Erstmal danke für die Antwort:)

Aber irgendwie verwirrt mich das alles. Weil ich mir eigentlich sicher war, dass die Menge (0,1) offen war. Also nach unserer Definition nur aus inneren Punkten besteht. Nun soll anscheinend aber {0,1} Rundpunkte der Menge sein. Aber ich dachte die Menge hat keine Randpunkte, da es ja nur aus inneren Punkten besteht.

---

Weil ich mir eigentlich sicher war, dass die Menge (0,1) offen war. ✓

Also nach unserer Definition nur aus inneren Punkten besteht. ✓

Nun soll anscheinend aber {0,1} Rundpunkte der Menge sein. ✓

Aber ich dachte die Menge hat keine Randpunkte, da es ja nur aus inneren Punkten besteht. f Es gibt Randpunkte, aber das sind keine Elemente
der Menge. Deshalb besteht die Menge in der Tat nur aus inneren Punkten.