Aufgabe: Häufungspunkt, Isoliert Punkt, Randpunkt in der Menge bestimmen
Sei M := (0, 1] ∪ {2} ⊂ R; M ist eine beschränkte Menge.
(0, 1) ist die Menge der inneren Punkte, [0, 1] die der Häufungspunkte, {0, 1, 2}
die der Randpunkte, {2} die der isolierten Punkte und M = [0, 1] ∪ {2}
Problem/Ansatz:
… Für mich macht echt alles Sinn nur versteh ich nicht, warum 0 ein Randpunkt ist. Denn ich dachte, dass bspw. der Intervall (0,1) gar keine RP, sondern nur innere Punkte hat.
Wir haben folgende Definition für Randpunkte bekommen:
Sei M ⊂ X. Dann heißt x0 ∈ X ”Randpunkt von M“
(Schreibweise: ”x0 ∈ ∂M“) :⇔
∀ε > 0 ∃x ∈ B(x0, ε) ∩M und ∃y ∈ B(x0, ε) ∩Mc. Würde nach der Definition beispielsweise in einem Intervall (0,1) auch 0 und 1 Randpunkte sein, denn wenn man hier ein super, super kleines ε wählen würde, wäre die obige Definition erfüllt.