Von Exponential-Dichtefunktion zu Verteilungsfunktion

Question

Aufgabe:

Wie kommt man von der Dichtefunktion:

\( f_{k}(x)=\left\{\begin{array}{rr}k \cdot e^{-k \cdot x}, & \text { für } x \geq 0 \\ 0, & \text { für } x<0\end{array}\right. \)

auf die Verteilungsfunktion?:

\( F(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-\mathrm{e}^{-2 x}, & \text { für } x>0 \\ 0, & \text { für } x \leq 0\end{array}\right. \)

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir den Rechenweg erklären? Wenn ich die Dichtefunktion integriere komme ich auf \( -\mathrm{e}^{-2 x} \) und das ist ja nicht der “obere Teil der Verteilungsfunktion“

Comments

Könnt ihr mir noch bei der Frage helfen, die ich bei derMatheCoach gestellt habe? Da würde ich gern noch wissen warum das falsch ist

Answer 1

Hallo

nur für k=2 ist das allgemeine Integral  -e^-2x die Grenzen 0 und x eingesetzt gibt dann -e^-2x+1

Gruß lul

Answer 2

Bilde die Ableitung der Verteilungsfunktion

F(x) = 1 - e^(- 2·x)

F'(x) = 2·e^(- 2·x)

Also

f(x) ist eine Dichtefunktion für k = 2

Comments

Ist nur die allgemeine Dichtefunktion

f(x) = k·e^(- k·x)

bekannt, dann bildet man die Stammfunktion, für die gilt F(0) = 0

F(x) = 1 - e^(- k·x)

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Vielen Sank für deine Antwort. Ich hatte noch eine Frage zu einer ähnlichen Aufgabe:

Die Zeit \( X \) (in Stunden), die ein Techniker benötigt, um eine Maschine zu reparieren, sei durch eine Exponentialverteilung mit Parameter \( k=5 \) beschrieben. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Techniker
a) höchstens 15 Minuten,
b) zwischen 15 und 45 Minuten

Die Verteilungsfunktion wäre hier ja auch wieder \( 1-e^{-5 x} \) und für die a.) müsste ich ja eigentlich nur F(x<=15) =( \( 1-e^{-5 * 15} \)) – (\( 1-e^{-5 * 0} \)) rechnen oder? Weil bei mir kommt dabei immer das falsche Ergebnis heraus

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Das wäre echt nett. Weil ich komme da nicht weiter. Oder soll ich die Frage noch einmal separat stellen?