(R(x)-R(a))*[(x-a)\||x-a||]=0 für x->a, wenn R(x) eine nicht konstante in "a" stetige Funktion ist, Sandwich-Kriterium

Question

Wenn R(x) eine nicht konstante in a stetige Funktion ist, kann ich dann Grundsätzlich davon ausgehen, dass

\(\lim\limits_{x\to a} \frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a)=0\) wegen des Sandwich-Kriteriums gilt? Da

\(0\leq  \frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a)\leq\frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}||x-a||=R(x)-R(a)\overset{x \rightarrow a}{ \rightarrow}=0\) wegen der Stetigkeit von R

Comments

versuch das mal mit R(x)=√x

Gruß lul

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Um das richtig formulieren zu können, muss man Definitions und Wertebereich von R kennen

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Stimmt, dass \(0\leq \frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a)\) kann ich nicht so einfach annehmen.

\(R: U \rightarrow M_{m \times n}(\mathbb{R})\) mit \(U\subset \mathbb{R}^n\).

Mir fällt aber auch auf, dass ich hier vermutlich anders argumentieren muss, da \(0\leq R(x)-R(a)\) keinen Sinn ergibt, habe gestern nicht sehr rigoros darüber nachgedacht, sry :(

Nur \(0\leq || R(x)-R(a)||_F\) macht Sinn.

Um den Abstand zwischen zwei Matritzen zu messen benutzen wir die Frobeniusnorm \(||A||_F=\sqrt{\sum \limits_{i=1}^{m}\sum \limits_{j=1}^{n}a_{ij}^2} \)

In einem Beweis steht einfach nur:

\( \frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a) \overset{x \rightarrow a}{ \rightarrow}=0\)

Gestern habe ich kurz überlegt, ob das Allgemein gilt, aber ziemlich offensichtlich nicht (facepalm).

Leider sehe ich keine weiteren Infos in dem Beweis.

Answer 1

Offenbar operierst du hier in normierten Räumen, wobei R Matrizen als Werte hat.

Stetigkeit einer Funktion R an einer Stelle \(a\) bedeutet dabei \(\lim_{x\to a}R(x) = R(a)\). So ein Grenzwert ist dabei über die Norm definiert:

\(\lim_{x\to a}R(x) = R(a) \Leftrightarrow \lim_{x\to a}|| R(x) - R(a) || = 0\).

Nun kannst du dein Sandwichargument anwenden, musst aber die Norm vom gesamten Ausdruck nehmen und eine wichtige Eigenschaft von Matrix-Normen ausnutzen:

$$\left|\left|\frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a)\right|\right| \stackrel{||Ax||\leq ||A|| \,||x||}{\leq} ||R(x)-R(a)|| \cdot \frac{||x-a||}{||x-a||}= ||R(x) - R(a)||\stackrel{x\to a}{\longrightarrow} 0$$

Beachte auch, dass die Null bei \(\lim_{x\to a}\frac{R(x)-R(a)}{||x-a||}(x-a) = 0\) der Nullvektor ist. Bei der Abschätzung der Norm handelt es sich aber um die reelle Null.