Funktionspunkt berechnen mit LaPlace Operator?

Question

Hallo :)

Ich weiß leider einfach nicht, wie ich diese Hausaufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

Gegeben seien die Funktionen \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y, z)=x^{3} y z^{2} \) und \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, g(x, y, z)=-\sin (x) \cos (y) \sin (z) \). Es bezeichne \( \Delta \) den Laplace-Operator. Berechnen Sie
i) \( \Delta f(1,1,1)= \)
ii) \( \Delta g\left(\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}\right)= \)

Vielen Dank an alle die mir helfen können!

Answer 1

Verwende \(  \Delta f= \sum \limits_{k=1}^3 \frac{d^2f}{x^2_k} \)

Also etwa bei i)

\( \Delta f(1,1,1)= (6xyz^2+0+2x^3y )(1,1,1) = 6+0+2=8\)

Comments

Danke!
Kannst du mir auch bei g(x,y,z) helfen?

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Das geht entsprechend:

Du musst 2-mal nach jeder Variablen ableiten:

\( \frac{d}{dx}g(x, y, z)=-\cos(x) \cos (y) \sin (z) \)

\( \frac{d^2}{dx^2}g(x, y, z)=\sin(x) \cos (y) \sin (z) \)

an der Stelle \( \left(\frac{\pi}{2}, 0, \frac{\pi}{2}\right) \) gibt

das \( \sin(\frac{\pi}{2}) \cos (0) \sin (\frac{\pi}{2}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 \)

etc.