Konstanten einer Matrix

Question

Aufgabe: Gegeben ist folgende Matrix:

Y(t) =  \( \begin{pmatrix} -2^(-3t) & e^ (7t) \\ 2e^(-3t) & e^(7t) \end{pmatrix} \) 

(Die ^-3t und ^7t sollen eigentlich hoch gestellt sein aber beim verwenden der Funktion ist die Matrix Form nicht erschienen.
Wenn jemand weiß wie man dies richtig eintragen kann ändere ich es gerne.)

Nun soll ich die Konstanten c1 und c2 mit Hilfe der Anfangsbedingungen x(0) = 3 und y(0) = 1 bestimmen.

Problem/Ansatz:
Ich denke das ich die Konstanten bestimmen kann wenn ich Gleichungen habe mit DGL, stehe aber gerade auf dem Schlauch wie ich die Matrix umschreibe in eine Gleichung.
Vielleicht kann ja jemand meinen Knoten schnell lösen.

LG

Comments

In Latex ist die Klammer { } das zusammenfassende funktionale Element und NICHT ( ). Wenn Du geschwungene Klammern ausschreiben willst musst maskieren \left\{  \right\}

Ist die Matrix wirklich korrekt?

>Nun soll ich die Konstanten c1 und c2 <

wo wären denn die Konstanten?

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soll da eigentlich stehen Y'(t)=A*Y(t) mit Y=(x,y)^T

sonst macht die Frage keinen Sinn.

lul

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Ist das so gemeint, das das schon das Ergebnis des DGL-Systems ist?

dann würde gelten:

x(t)= -2C₁ e^(-3t) +C₂ e^(-7t) und

y(t)= 2C₁ e^(-3t) +C₂ e^(-7t)

------->

x(0)= 3:  3= -2C₁+C₂

y(0)=1:   1= 2C₁+C₂

C₁= -1/2 ; C₂=2

oder wie lautet die genaue Aufgabenstellung?

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Genaue Aufgabenstellung wie folgt:

Oben ist ein homogenes System gegeben:
\( \begin{pmatrix} x'(t)  \\ y'(t) \end{pmatrix} \) = (y₁(t) y₂ (t)) * \( \begin{pmatrix} c1 \\ c2 \end{pmatrix} \)
     ↑                   ↑

    y(t)              Y(t)

Dabei sind y1, y2 zwei linear unabhängige Lösungsvektoren und c1, c2 ∈ ℝ.

Ich habe zwei Lösungsvektoren des Systems gegeben.

Y₁ (t) = \( \begin{pmatrix} -2e^{-3t} \\ 2e^{-3t}  \end{pmatrix} \)
Y₂ (t) = \( \begin{pmatrix} e^{7t} \\ e^{7t} \end{pmatrix} \)

Dann die Determinante dieser Matrix bestimmen:

Y(t) = \( \begin{pmatrix} -2e^{-3t} & e^{7t} \\ 2e^{-3t} & e^{7t} \end{pmatrix} \)

Dort habe ich -4e^4t als Ergebnis

Als nächstes sollen die Konstanten c1 und c2 mit Hilfe der Anfangsbedingungen x(0) = 3 und y(0) = 1 bestimmen.

Hoffe jetzt ist es verständlicher und ich habe dank "wächter" auch geschafft in der Matrix richtig hoch zu stellen, danke.

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Dazu hat ja  Grosserloewe dir schon die Lösung geschrieben. Was willst du denn mit der Determinante anfangen?

lul

Answer 1

Hallo,

x(t)= -2C₁ e^(-3t) +C₂ e^(-7t) und

y(t)= 2C₁ e^(-3t) +C₂ e^(-7t)
------->

x(0)= 3: 3= -2C₁+C₂

y(0)=1: 1= 2C₁+C₂

C₁= -1/2 ; C₂=2

Comments

Vielen Dank!!