Question

Vereinfachen der Funktion

Hallo,

ich sollte von der Funktion f(x) = 5(x−5)³ *(x+1) die Extremstelle bestimmen.

Ich hab dann versucht die Funktion mit der Produktregel abzuleiten und bin jetzt auf Folgende Form gekommen:

15(5x-25)²*(x+1)+5(x-5)³ Ich weiß jetzt allerdings nicht wie ich die Funktion weiter vereinfachen kann um die Nullstellen ablesen zu können. Hat hier jemand vielleicht einen Tipp?

^LG

Comments

Zu spät, kann weg.

Zunächst musst Du den Schreib/Rechenfehler im ersten Term korrigieren. Dann würde ich (x-5)^2 ausklammern.

Answer 1

\(f(x) = 5*(x−5)^3 *(x+1)\)

\(f(x) = 5*[(x−5)^3 *(x+1)]\)

\(f´(x) = 5*[3*(x−5)^2 *(x+1)+(x−5)^3 *1]\)

\( 5*[3*(x−5)^2 *(x+1)+(x−5)^3 =0]\)

\( 3*(x−5)^2 *(x+1)+(x−5)^3 =0\)

\( (x−5)^2 *[3*(x+1)+(x−5)] =0\)

\( (x−5)^2 *(4x-2) =0\)

1.)\( (x−5)^2 =0\)

\(x₁=5\)

2.)\( (4x-2) =0\)

\( x₂=\frac{1}{2}\)

Art des Extremwertes:

\(f´(x) = (x−5)^2 *(4x-2) \)

\(f´´(x) = 2*(x−5) *(4x-2)+(x−5)^2*4 \)

\(f´´(x) = 2*(x−5) *(4x-2)+4*(x−5)^2 \)

\(f´´(x) = (x-5) *(8x-4)+4*(x−5)^2 \)

\(f´´(x) = (x-5) *[(8x-4)+4*(x−5)] \)

\(f´´(x) = (x-5) *[12x-24] \)

\(f´´(5) =0 \) Somit keine Extremstelle

\(f´´(0,5) = (0,5-5) *[12*0,5-24] \)

\(f´´(0,5) = (-4,5) *[6-24] >0  \) Minimum

Was ist nun bei \(x=5 \) ?   \(f(5) = 5*(5−5)^3 *(x+1)=0\)  →  \(N(5|0)\)

Die Steigung bei \(x=5 \)

\(f´(5) = 0 \)  waagerechte Steigung →  Untersuchung Wendepunkt:

\(f´´(x) = (x-5) *[12x-24] \)

\( (x-5) *(12x-24) =0\)

\(x₁=5\)   Somit ist dort ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt)

\(x₂=2\)

Answer 2

15(5x-25)²*(x+1)+5(x-5)³ ist falsch. Richtig ist  15(x-5)²*(x+1)+5(x-5)³.

Klammere (x-5)² aus und nutze den Satz vom Nullprodukt.

Answer 3

(5x-25)^2 = 5^2*(x-5)^2

Du kannst (x-5)^2 ausklammern.

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 4

Lösungsweg
Die Funktion ausmultiplizieren
Ableiten

Vielleicht die Funktion einmal aufzeichnen lassen.
Die Nullstellen über das Newtonsche Nährungs-
verfahren bestimmen oder versuchsweise
an die Lösung herantasten.

Answer 5

Aloha :)

Du bist irgendwie mit dem Faktor \(5\) durcheinander gekommen. Die \(5\) ist eine Konstante und bleibt daher beim Ableiten als einfacher Faktor erhalten. "Die tut nichts.", würden Hundebesitzer sagen.$$f(x)=5\cdot\underbrace{\red{(x-5)^3}}_{=u}\cdot\underbrace{\green{(x+1)}}_{=v}$$$$f'(x)=5\cdot\left(\underbrace{\red{3(x-5)^2}}_{=u'}\cdot\underbrace{\green{(x+1)}}_{=v}+\underbrace{\red{(x-5)^3}}_{=u}\cdot\underbrace{\green1}_{=v'}\right)$$Zum Vereinfachen des Ergebnisses können wir noch \((x-5)^2\) ausklammern:$$f'(x)=5\cdot(x-5)^2\cdot\left(\;3(x+1)+(x-5)\;\right)$$und dann die verbliebene Summe ausrechnen:$$f'(x)=5\cdot(x-5)^2\cdot(4x-2)$$Sehr schön wird die Lösung, wenn du nun auch noch aus der letzten Klammer den Faktor \(2\) ausklammerst, woduch aus dem Faktor \(5\) der Faktor \(10\) wird:$$f'(x)=10\cdot(x-5)^2\cdot(2x-1)$$

Ein Produkt ist genau dann \(=0\), wenn mindestens ein Faktor \(=0\) ist.

Die Nullstellen der Ableitung liegen daher bei \(x=5\) und bei \(x=\frac12\).