Optimierungsproblem aus zwei Preisabsatzfunktion und einer Kostenfunktion

Question

Aufgabe:

Ich habe zwei Preisabsatzfunktionen:

p_c(x_c) = 1000-0,0125*x_c

p_d(x_d) = 800-0,02*x_d

und noch die dazugehörige Kostenfunktion:

K(x_g) = 10000 + 0,05*x²_g

g steht für die gesamte Produktionsmenge und das Unternehmen möchte den Gewinn mit seinen beiden Produkten D und C maximieren.

Ich soll nun ein Optimierungsproblem aufstellen, das wäre in diesem Fall ja die Gewinnfunktion G(x_g) = E(x_g) - K(x_g). Muss ich nun aus p_c und p_d eine Preisabsatzfunktion aufstellen oder würde ich jetzt x_g in der Kostenfunktion zu x_c + x_d umformen oder wie schaffe ich es die Zielfunktion und die Nebenbedingungen aufzustellen?

Vielen Dank, ich stehe auf dem Schlauch

LG

Answer 1

G(x_c, x_d) = E(x_c) + E(x_d) - K(x_g)

= x_c * (1000 - 0,0125 * x_c) + x_d * (800 - 0,02*x_d) - (10000 + 0,05*(x_c+x_d)^2)

Comments

Wie würde ich jetzt hieraus mittels des Lagrange-Ansatzes einen kritischen Punkt errechnen? Hierfür fehlt mir ja die Nebenbedingung.

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Ja, es gibt keine Nebenbedingung (abgesehen von den üblichen Nichtnegativitätsbedingungen). Die Gewinnfunktion kannst Du DIr als Hut vorstellen, der auf einem Tisch liegt. Die x-y-Ebene ist die Tischplatte. Du suchst die Spitze des Hutes... unten abgebildet, die zweite Abbildung sind seine Höhenlinien.

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Hey döschwo,

vielen Dank für deine erneute Antwort. Kann man denn einen Lagrange-Ansatz aufstellen ohne eine Nebenbedingung?

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Das ist hier kein Thema.

Wikipedia-Artikel dazu, erster Satz: "Das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren (nach Joseph-Louis Lagrange) ist in der mathematischen Optimierung eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen."

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Hi zusammen,

sitze an der gleichen Aufgabe. Da der kritische Punkt gemäß Aufgabenstellung explizit mittels Lagrange ermittelt werden soll, wäre die Frage, ob man dazu die Nichtnegativitätsbedingung als Nebenbedingung nutzen kann? g(x_C, x_D) ≥ 0 und dementsprechend x_C + x_D - c = 0? Oder habe ich mich da jetzt komplett verrannt?

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Oder habe ich mich da jetzt komplett verrannt?

Wahrscheinlich.

Answer 2

E(x) = p_d(x)*x

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Comments

Und was ist mit der Kostenfunktion, die gehört doch zur Gewinnmaximierung mit dazu, oder nicht?

Answer 3

Wenn man keine Nebenbedingungen hat ist es doch noch viel einfacher. Bilde den Gradienten und die Hessematrix und untersuche die Funktion damit auf Extrema.

Kontrolliere dann z.B. mit Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input?i=max+x*%281000-0.0125*x%29%2By*%28800-0.02y%29-%2810000%2B0.05%28x%2By%29%5E2%29

Offensichtlich langt es sich auf Produkt C zu konzentrieren und die Produktion von Produkt D einzustellen.

Answer 4

Wie sieht dann der Lagrange-Ansatz aus?

LG

Comments

Siehe dazu die Hinweise andernorts auf dieser Seite: Lagrange ist für wenn mit Nebenbedingungen. Hier gibt es keine Nebenbedingungen.