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Aufgabe:

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Text erkannt:

0 8.3.19 Gegeben sind die folgenden Verteilungsfunktionen:
a) FX(x)={0 fu¨x<0x2 fu¨0x<11 fu¨1x F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{llr}0 & \text { für } & x<0 \\ x^{2} & \text { für } & 0 \leq x<1 \\ 1 & \text { für } & 1 \leq x\end{array}\right.
b) FX(x)={0 fu¨x<0x4 fu¨0x<11 fu¨1x F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { für } & x<0 \\ x^{4} & \text { für } & 0 \leq x<1 \\ 1 & \text { für } & 1 \leq x\end{array}\right.
Bestimmen Sie für beide die Dichtefunktion sowie P(1<X0,5) \mathbf{P}(-1<X \leq 0,5) und P(0,25<X0,75) \mathbf{P}(0,25<X \leq 0,75) .



Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man für die Dichtefunktion P ?

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Aloha :)

Du brauchst nur die Verteilungsfunktionen abzuleiten:a)f(x)=ddxF(x)={0fu¨x<02xfu¨0x<10fu¨1x\text{a)}\quad f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<0\\2x & \text{für }0\le x<1\\0 & \text{für }1\le x\end{array}\right.b)f(x)=ddxF(x)={0fu¨x<04x3fu¨0x<10fu¨1x\text{b)}\quad f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<0\\4x^3 & \text{für }0\le x<1\\0 & \text{für }1\le x\end{array}\right.

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten folgen aus den Dichtefunktionen:P(1<X0,5)=P(0X0,5)=P(X0,5)=F(0,5)P(-1<X\le0,5)=P(0\le X\le0,5)=P(X\le0,5)=F(0,5)Für (a) erhalte ich (12)2=14\left(\frac12\right)^2=\frac14 und für (b) kommt (12)4=116\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16} heraus.P(0,25<X0,75)=P(X0,75)P(X0,25)=F(0,75)F(0,25)P(0,25<X\le0,75)=P(X\le0,75)-P(X\le0,25)=F(0,75)-F(0,25)Für (a) heißt das (34)2(14)2=12\left(\frac34\right)^2-\left(\frac14\right)^2=\frac12 und für (b) erhalte ich (34)4(14)4=516\left(\frac34\right)^4-\left(\frac14\right)^4=\frac{5}{16}

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