Bestimmen Sie für beide die Dichtefunktion sowie \mathbf{P}(-1 X ≤ 0,75) .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

0 8.3.19 Gegeben sind die folgenden Verteilungsfunktionen:
a) \( F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{llr}0 & \text { für } & x<0 \\ x^{2} & \text { für } & 0 \leq x<1 \\ 1 & \text { für } & 1 \leq x\end{array}\right. \)
b) \( F_{X}(x)=\left\{\begin{array}{lll}0 & \text { für } & x<0 \\ x^{4} & \text { für } & 0 \leq x<1 \\ 1 & \text { für } & 1 \leq x\end{array}\right. \)
Bestimmen Sie für beide die Dichtefunktion sowie \( \mathbf{P}(-1<X \leq 0,5) \) und \( \mathbf{P}(0,25<X \leq 0,75) \).

Problem/Ansatz:

Wie bestimmt man für die Dichtefunktion P ?

Answer 1

Aloha :)

Du brauchst nur die Verteilungsfunktionen abzuleiten:$$\text{a)}\quad f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<0\\2x & \text{für }0\le x<1\\0 & \text{für }1\le x\end{array}\right.$$$$\text{b)}\quad f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{für }x<0\\4x^3 & \text{für }0\le x<1\\0 & \text{für }1\le x\end{array}\right.$$

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten folgen aus den Dichtefunktionen:$$P(-1<X\le0,5)=P(0\le X\le0,5)=P(X\le0,5)=F(0,5)$$Für (a) erhalte ich \(\left(\frac12\right)^2=\frac14\) und für (b) kommt \(\left(\frac12\right)^4=\frac{1}{16}\) heraus.$$P(0,25<X\le0,75)=P(X\le0,75)-P(X\le0,25)=F(0,75)-F(0,25)$$Für (a) heißt das \(\left(\frac34\right)^2-\left(\frac14\right)^2=\frac12\) und für (b) erhalte ich \(\left(\frac34\right)^4-\left(\frac14\right)^4=\frac{5}{16}\)