Für \(n \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) seien \(\lambda_1, ..., \lambda_n \geq 0\) mit \(\sum_{k=1}^n \lambda_k = 1\) gegeben. Beweisen Sie den folgenden Spezialfall der sogenannten umgekehrten Jensen'schen Ungleichung: Für alle \(x_1, ..., x_n > 0\) gilt
$$\text{ln}\left(\sum^n_{i=1} \lambda_i x_i\right) \geq \sum^n_{i=1} \lambda_i \text{ln}(x_i).$$
Problem/Ansatz:
Hier gehe ich davon aus, dass die Exponentialfunktion konvex ist, d.h. für alle \(\lambda \in [0,1]\) und alle \(x, y \in \mathbb{R}\) gilt
$$\text{exp}(\lambda x + (1 - \lambda) y) \leq \lambda e^x + (1-\lambda) e^y.$$
Wie kann ich von dort aus die obrige Aussage beweisen?
