Äquivalente Aussagen limes, f(x), Abstand

Question

Aufgabe:

Sei f : R → R. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent
sind
(i) limx→∞ f(x) existiert in R,
(ii) ∃ a ∈ R ∀ ε > 0 ∃ R > 0 ∀ x ≥ R : |f(x) − a| < ε,
(iii) ∀ ε > 0 ∃ R > 0 ∀ x, y ≥ R : |f(x) − f(y)| < ε.

Problem/Ansatz:

Wir wissen überhaupt nicht, wie diese Aufgabe gelöst werden soll.

Answer 1

(i) limx→∞ f(x) existiert in R,

==>  Da der Grenzwert eine reelle Zahl ist, können wir ihn benennen

etwa \( \lim\limits_{x \to \infty} f(x)=a \)
Bei diesem a sind die Funktionswerte für hinreichend x alle in der Nähe .
(Musst mal schuaen, wie da genau eure Definition ist, könnte so sein:

∀ ε > 0 ∃ R > 0 ∀ x ≥ R : |f(x) − a| < ε

Dann hättest du ja (i) ==> (ii) schon mal fertig.

(ii) ∃ a ∈ ℝ ∀ ε > 0 ∃ R > 0 ∀ x ≥ R : |f(x) − a| < ε

um (iii) zu zeigen, sei also ε > 0, Wegen (ii) existiert a ∈ ℝ

und ∃ R > 0 ∀ x ≥ ℝ : |f(x) − a| < ε/2

==>  ∀ x, y ≥ R   |f(x) − a| < ε/2 und |f(y) − a| < ε/2

==>    |f(x) − a| + |f(y) − a| < ε

Wegen der Dreicksungleichung gilt

        |f(x) − a| + |f(y) − a| ≥  |(f(x) − a + f(y) − a) = |f(x)-f(y)|

Also gilt auch |f(x) − f(y)| < ε.

Damit hast du (ii) ==> (iii).

Für (iii) ==> (i) siehe

https://www.bing.com/videos/search?q=jede+cauchy+folge+konvergiert&view=detail&mid=56E6B7C8B0E225C4DC5156E6B7C8B0E225C4DC51&FORM=VIRE