b-adische Brüche in die Dezimaldarstellung

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

(a) $0 . \overline{629}=\frac{17}{27}$,
(b) $0.08 \overline{63}=\frac{19}{220}$,
(c) $0 . \overline{3564}=\frac{36}{101}$.

Es soll mit Hilfe dieses Beispiels:

Text erkannt:

$0.33333 \ldots=\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{3}{10^{n}}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{3}{10^{n+1}}=\frac{3}{10} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{10^{n}}=\frac{3}{10} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$.

gezeigt werden, dass die Aussagen gelten.

Problem/Ansatz:

Ich habe viel herumprobiert und finde jedoch keinen Ansatz.

Ich bedanke mich schon einmal im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

0.p629 = ∑ (n = 1 bis ∞) (629/1000ⁿ)

Willst du es damit mal probieren?

Comments

Ja, das hat mir sehr geholfen.

Danke!

Answer 2

Falls ihr nicht unbedingt Reihen benutzen müsst, schlage ich eine andere Vorgehensweise vor:

Ich nehme absichtlich das "komplizierteste" Beispiel:

$0.08\overline{63} = \frac 8{100} + \frac 1{100}\cdot 0.\overline{63}$

Nun ist

$100\cdot 0.\overline{63} = 63.\overline{63}$

$\Leftrightarrow 99 \cdot 0.\overline{63} = 63$

$\Leftrightarrow 0.\overline{63} = \frac {63}{99} = \frac {7}{11}$

Insgesamt:

$0.08\overline{63} = \frac 8{100} + \frac 1{100}\cdot \frac {7}{11} \stackrel{rechnen}{=}\frac{19}{220}$