Berechnen Sie den Flächeninhalt A .

Question

Aufgabe

Für jedes a > 0 ist eine Funktion f , gegeben durch f a( x ) = ax² (1 - In (x²/a)) .

Weisen Sie nach , dass die Funktion F^1, mit der Gleichung F₁ ( x ) = 1/9x³ ( 5 - In ( x² ) ) eine Stammfunktion der Funktion f₁ , ist . Der Graph der Funktion f₁ , die x - Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen x = z ( z E R , 0 < z < 1 ) und x = 1 begrenzen eine Fläche mit dem Inhalt A ( z ) vollständig .

Berechnen Sie den Flächeninhalt A ( z ) .

Geben Sie den Flächeninhalt für z = 1/e an .

Problem/Ansatz:

Hallo, ich bin gerade beim üben für meine Klausur nächste Woche auf diese Aufgabe gestoßen mit einige weiternen Aufgaben, die ich nicht wirklich weiß wie man das löst. Soll ich erst die f^1 ausrechnen in dem ich für alle x in der funktion 1 einsetze? Ubd wie geht es weiter~

Bin für jede Hilfe und Erklärungen dankbar, denn ich muss das bis nächste Woche verstehen...

Comments

Hallo,

$$ \int a x^{2}\left(1-\ln \left(\frac{x^{2}}{a}\right)\right) d x=\frac{1}{9} a x^{3}\left(5-3 \ln \left(\frac{x^{2}}{a}\right)\right)+\text { constant } $$

Du hast die 3 vergessen.

Hier ein Bild:

:-)

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Ehmmm... in meiner Aufgabenstellung steht keine 3ln..?!

Answer 1

Die Aufgabestellung ist nicht richtig. \( F_1(x) \) ist keine Stannfunktion von \(f_1(x) \). Denn ansonsten müsste \( F'_1(x) = f_1(x) \) gelten.

Comments

Ist die Fläche auch links vom Ursprung begrenzt?

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Hi, ich denke nicht das nicht angegeben wurde

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Genauso steht es auf meinem Arbeitsblatt.

F ist ja genauso die stammfunktion von f.

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Nochmal, \( F_1 \) ist nicht die Stammfunktion von \( f_1 \). Bitte nachrechnen.

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Wie hast du das gerechnet?

Answer 2

Hallo,

hier ist der Link zum Graphen.

https://www.desmos.com/calculator/y4bmhzk0lk

Nun zum Nachweis, dass

\(F_1(x)=\frac{1}{9} x^{3}\left(5-3 \ln \left(x^2\right)\right)+\text { constant } \)

Stammfunktion von \(f_1(x)\) ist. Mit der Produktregel und der Kettenregel erhalte ich:

\(F_1'(x)\\=\frac{1}{3} x^{2}\left(5-3 \ln \left(x^2\right)\right)+\frac{1}{9} x^{3}\left(-3\cdot2x\cdot\frac{1}{x^2}\right) \\= \frac53 x^2-x^2\ln(x^2)-\frac23 x^2\\=x^2-x^2\ln(x^2)\\=x^2(1-\ln(x^2))\\=f_1(x)\)

Den Rest schaffst du bestimmt selbst, oder?

Zur Kontrolle: \(A(\frac1e) = \frac59 - \frac{11}{9e^3}\)

:-)