Zeigen Sie, dass es ein x_{0} ≥ 0 gibt mit f(x_{0}) ≤ f(x) für alle x ≥ 0 .

Question

Aufgabe:

Sei f : [0,∞) → R gegeben durch

Text erkannt:

\( f(x)=\frac{x^{3}-2 x^{2}-1}{x^{2}-2 x+3} . \)
Zeigen Sie, dass es ein \( x_{0} \geq 0 \) gibt mit \( f\left(x_{0}\right) \leq f(x) \) für alle \( x \geq 0 \). Muss es auch ein \( x_{1} \in \mathbb{R} \) geben mit \( f\left(x_{1}\right) \geq f(x) \) für alle \( x \geq 0 \) ?

Answer 1

Zeigen Sie, dass es ein \( x_{0} \geq 0 \) gibt mit \( f\left(x_{0}\right) \leq f(x) \) für alle \( x \geq 0 \).

Zeige, dass \(f\) keine Polstellen hat und bestimme \(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)\).

Muss es auch ein \( x_{1} \in \mathbb{R} \) geben mit \( f\left(x_{1}\right) \geq f(x) \) für alle \( x \geq 0 \) ?

Folgt aus obigem.

Comments

@oswald

Zielen die beiden Fragen nicht eher darauf ab, ob f auf \([0,\infty]\) ein Minimum bzw. Maximum hat?

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Ja.

Eine auf einem kompakten Intervall definierte stetige Funktion hat ein Minimum.

Das Intervall \([0,\infty]\) ist nicht kompakt.

Wegen des Wertes von \(\lim\limits_{x\to \infty} f(x)\) genügt es aber, ein geeignetes Intervall \([0,x_0]\) zu betrachten.