Determinante einer nxn Matrix (Beweis) mit Laplace-Entwicklung

Question

Hallo liebe Mathematiker! Ich habe ein kleines Problem!

Aufgabe:

Betrachten Sie die folgende Familie von (nxn)-Matrizen:

Bestimmen Sie mit Beweis eine Formel für det(A_n).

A_n=

b	0	0	a0
-1	...	0	...
0	-1	b	an-2
0	0	-1	b+an-1

Problem/Ansatz:

In der Aufgabe musste ich die Determinante für den Fall A₂ und A₃ ausrechnen, somit konnte ich eine Formel für den allgemeinen Fall A_n aufstellen und muss diese jedoch beweisen.

Meine Formel sieht folgendermaßen aus: det(A_n) = bⁿ + \( \sum\limits_{k=0}^{n-1}{b^{k}a_k} \)

Das k bei dem a ist untergestellt, also nur ein Index, erkennt man leider nicht bei der Gleichung.

Jedenfalls möchte ich jetzt die Gleichung via Induktion über n beweisen. Mein Problem: ich habe Schwierigkeiten den Entwicklungssatz von Laplace bei dieser Matrix anzuwenden

Zu beweisen:det(A_n+1) = bⁿ⁺¹ + \( \sum\limits_{k=0}^{n}{b^{k}a_k} \)

Mein Ansatz: det(A_n+1)=b*det(A_n)+1*det(A_n-1) (nach dem Entwicklungssatz)

Jedoch führt mich dies nicht zum Erfolg! Ich bitte um Rat!

Comments

Das k bei dem a ist untergestellt, also nur ein Index

Habe ich repariert: \(a_k\) ergibt \(a_k\).

Oder falls der Index nicht nur aus einem Zeichen besteht: \(a_{i,j}\) ergibt \(a_{i,j}\).