Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die Eigenwertgleichung lautet:$$\mathbf A\cdot\vec x=\lambda\cdot\vec x\quad;\quad\vec x\ne\vec 0$$Darin ist \(\mathbf A\) die Matrix, \(\vec x\) ist ein Eigenvektor der Matrix und \(\lambda\) der zugehörige Eigenwert.
Du brauchst hier also die Matrix \(S_\alpha\) nur mit dem Vektor zu multiplizieren und kannst dann prüfen, ob es sich tatsächlich um einen Eigenvektor handelt und sogar noch den Eigenwert ablesen.
Zur Vorbereitung nutzen wir die Additionstheoreme und überlegen uns:$$\red{\cos\alpha=\cos\left(\frac\alpha2+\frac\alpha2\right)=\cos^2\frac\alpha2-\sin^2\frac\alpha2}$$$$\green{\sin\alpha=\sin\left(\frac\alpha2+\frac\alpha2\right)=2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}$$
So vorbereitet führen wir nun die Matrix-Multiplikation aus:$$\begin{pmatrix}\cos\alpha & \sin\alpha\\\sin\alpha & -\cos\alpha\end{pmatrix}\cdot\binom{\cos\frac\alpha2}{\sin\frac\alpha2}$$$$\qquad=\binom{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\cos\frac\alpha2+\binom{\sin\alpha}{-\cos\alpha}\cdot\sin\frac\alpha2=\binom{\red{\cos\alpha}\cos\frac\alpha2}{\green{\sin\alpha}\cos\frac\alpha2}+\binom{\green{\sin\alpha}\sin\frac\alpha2}{-\red{\cos\alpha}\sin\frac\alpha2}$$$$\qquad=\binom{\left(\red{\cos^2\frac\alpha2-\sin^2\frac\alpha2}\right)\cos\frac\alpha2}{\green{2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}\cos\frac\alpha2}+\binom{\green{2\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}\sin\frac\alpha2}{-\left(\red{\cos^2\frac\alpha2-\sin^2\frac\alpha2}\right)\sin\frac\alpha2}$$$$\qquad=\binom{\cos^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2-\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2+2\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}{2\sin\frac\alpha2\cos^2\frac\alpha2-\cos^2\frac\alpha2\sin\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2\sin\frac\alpha2}$$$$\qquad=\binom{\cos^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2\cos\frac\alpha2}{\sin\frac\alpha2\cos^2\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2\sin\frac\alpha2}=\binom{\left(\cos^2\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2\right)\cos\frac\alpha2}{\sin\frac\alpha2\left(\cos^2\frac\alpha2+\sin^2\frac\alpha2\right)}$$$$\qquad=1\cdot\binom{\cos\frac\alpha2}{\sin\frac\alpha2}$$
Damit ist \(\binom{\cos\frac\alpha2}{\sin\frac\alpha2}\) ein Eigenvektor zum Eigenwert \(1\).
Fast die identische Rechnung musst du nun noch für den anderen Eigenvektor und den Eigenwert \((-1)\) durchführen...
Falls du damit Schiwerigkeiten hast, melde dich hier einfach nochmal ;)
