Ist die Abbildung linear? Pol2R

Question

Aufgabe:

Sei \( V:=\mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad \( \leqq 2 \).

Ist die Abbildung linear?

\( \varphi: V \rightarrow V: p(X) \mapsto p(X-3) \)

Ich habe Schwierigkeiten die Abbildung zu verstehen und die Linearitätsbedingungen darauf anzuwenden.

Ansatz:

V-->V:P(x)-->P(X-3)

Es handelt sich ja um den Pol2R; heißt das, dass ich alle Xen mit (X-3) ersetzen muss?

Also so:

-->(X-3)^2 +(x-3)+c , c€R

Frage: muss ich das c als 1 angeben?, weil das so die Grundform ist von Pol2R bzw. die Standardbasis davon.

Bin mir unsicher.

1.Linearitätsbdingung: ∂(0)=0

es sei x=0 ; x€R

--> p(0)↦ (0-3)^2 +(0-3) + 1 =! 0

             = 9-3+1=7

             ⇒7≠0

Somit ist die Abbildung nicht linear

Ist das so richtig angewendet?

Answer 1

Ich verstehe das so. wenn du hast p(x)=ax^2 + bx + c

Dann ist φ(p(x)) = a(x-3)^2 + b(x-3)x + c

Das Nullpolynom ist ja 0x^2 + 0x + 0

also sein Bild 0(x-3)^2+0(x-3)+0 also wieder das 0-Polynom.

Wenn du prüfen willst, ob z.B.   φ(k*p(x)) = k * φ(p(x)) gilt:

Dann mit p(x)=ax^2 + bx + c

φ(k*(ax^2 + bx + c))= φ(kax^2 + kbx + kc)

= ka(x-3)^2 + kb(x-3)x + kc

= k(a(x-3)^2 + b(x-3)x + c) =   k * φ(p(x))

Das passt . Und bei additiv wohl auch.