Verständnis, wenn dim(V)=1

Question

Ich habe End(V)={f | f:V->V}

wobei V ein K-Vektorraum ist, der nicht der Nullraum ist.

Wenn nun dimV=1 ist, heißt es, dass die Abbildungen von EndV bijektiv sind? Es gibt doch dann nur jeweils ein Element, welches auf ein Element abbildet?

Habe ich das so richtig aufgefasst?

Ich benötige diese Info um eine größere Äquivalenz zu zeigen.

Vielen Danke!

Comments

Die Nullabbildung ist auch ein Endomomorphismus?!

Answer 1

Es gibt doch dann nur jeweils ein Element, welches auf ein Element abbildet?

Was genau meinst du damit ?

Ein Endomorphismus eines eindimensionalen Vektorraums entspricht einer linearen Abbildung von ℝ in ℝ .  Ist der Endomorphismus auch ein Automorphismus, so ist er auch bijektiv.

Andernfalls wäre die Abbildung natürlich die Nullabbildung und keineswegs bijektiv.

Wie wurde also "Endomorphismus" genau definiert ?

Comments

Ich frage mich, ob dann f IMMER bijektiv ist.

Weil ich muss zeigen: ∀f∈End V ∃λ∈K ∀x∈K: f(x)=λx

Mit der Voraussetzung, dass dimV=1 gilt.

Ich dachte ich könnte dies mithilfe der Bijektivität zeigen.

Denn der Ausdruck f(x)=λx erinnert mich stark an an Surjektivität.

Answer 2

Der Endomorphismenring eines 1-dimensionalen V ist isomorph

zum Matrizenring \(\mathbb{R}^{1\times 1}\cong \mathbb{R}\).