alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms berechnen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Berechnen Sie alle reellen und komplexen Nullstellen des Polynoms \( \boldsymbol{p} \) mit
\( p(z)=z^{3}+11 \cdot z^{2}+39 \cdot z+29 \)
Hinweise:
- Geben Sie die Menge der Nullstellen in geschweiften Klammern an und trennen Sie die Elemente durch Kommata.
- Geben Sie die Antwort mathematisch exakt, also nicht mit Fließkommazahlen an.
Nullstellen: \( \left\{-1,-5+4 *_{i},-5-4 *_{i}\right\} \)
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( \{-1,-5+4 \cdot i,-5-4 \cdot i\} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, sind das alle Nullstellen? Ich hab die -1 geraten, dann eine polynomdivision durchgeführt daraus die pq-formel gezogen was mir -5+-4*i gebracht hat. Ist das alles so in Ordnung? Ich hab jetzt kein Bild von meinem rechenweg hochgeladen da in einer anmerkung steht dass handschriftliche notizen gelöscht werden.

Answer 1

Hornerschema

\(\begin{matrix}  & 1&11&39&29 \\ -1 & 1&10&29&0 \end{matrix}\Rightarrow\)

\(z^2+10z+29=0\Rightarrow z_{2,3}=-5\pm \sqrt{25-29}=-5\pm2i\)

Answer 2

z^3 + 11·z^2 + 39·z + 29

Erste reelle Nullstelle durch Raten bei z1 = -1

Polynomdivision / Horner Schema

(z^3 + 11·z^2 + 39·z + 29)/(z + 1) = z^2 + 10·z + 29

Weitere Nullstellen über pq-Formel

z2 = -5 - 2·i
z3 = -5 + 2·i

Damit hat man alle Nullstellen gefunden. Du scheinst dich verrechnet zu haben.

Comments

ich habe fast dasselbe, aber ich verstehe den letzten schritt nicht so recht. wieso wird aus dem \( \sqrt{25-29} \)  -> 2*i

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√(25 - 29) = √(- 4) = √(- 1 * 4) = √(- 1) * √(4) = 2 * i

Die Wurzel aus 4 ist 2 und nicht 4 oder ?

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das stimmt natürlich. ich hab aus irgendeinen grund gedacht dass das i die wurzel ersetzt

Answer 3

\(p(z)=z^{3}+11 \cdot z^{2}+39 \cdot z+29 \)

\(z₁=-1 \)

\((z^{3}+11 \cdot z^{2}+39 \cdot z+29):(z+1)=z^2+10z+29 \)

\(z^2+10z+29=0 \)

\(z^2+10z=-29 \)

\((z+5)^2=-29+25=-4=4i^2 \)

\(z+5=2i \)

\(z₂=-5+2i \)

\(z₃=-5-2i \)