Zeigen Sie, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive...

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die reelle Sinusfunktion eine bijektive,
streng wachsende Funktion [−2,2] → [−1,1] induziert,
und dass die reelle Kosinusfunktion eine bijektive,
streng fallende Funktion [0,] → [−1,1] induziert.

Problem/Ansatz:

Was ist die Lösung und wie geht man an die Aufgabe ran?

Comments

Wie soll da der Begriff "induziert" interpretiert werden ?

(Sowas würde meiner Ansicht nach zur Aufgabenstellung gehören !)

Answer 1

Machen wir das mal für die Sinusfunktion.

Der Sinus nimmt seine Extremwerte bei \( \pm \frac{\pi}{2} \) an. Diese Werte liegen im Intervall \( [-2 , 2 ] \) und da der Sinus stetig ist, werden auch alle Zwischenwerte angenommen. Also ist der Sinus auf diesem Intervall surjektiv.

Aber er ist nicht injektiv und auch nicht streng monoton wachsend auf dem Intervall, wie das Bild beweist. Vielleicht was mit der Aufgabenstellung nicht in Ordnung?

Comments

Sorry das Schreibprogramm hier hat einiges nicht übernommen warum auch immer... Ich habe die Aufgabenstellung als bild hochgeladen.

---

Surjektiv habe ich ja schon gezeigt. Jetzt also noch injektiv. Das kann man durch die erste Ableitung zeigen, indem man zeigt, dass sie in dem betreffenden Bereich positiv ist. Das kann man aus dem Bild oben aber ablesen.

Für den Kosinus sind die Schritte identisch.

Answer 2

Hallo

Wenn du dir die sin Funktion von -2 bis2 ansiehst (plot) dann ist sie NICHT monoton steigend, also ist was an den angaben falsch, f'(x)=cos(x) cos(-2)=-0,4.., cos(0)=1 also wechselt die Steigung in dem Gebiet, monoton in [-π/2,π/2]

Nachweis über die Ableitung oder die Projektion am Einheitskreis. Wenn eine funktion in einem Intervall stetig und monoton ist, ist sie bijektiv

lul

Comments

Sorry das Schreibprogramm hier hat einiges nicht übernommen warum auch immer... Ich habe die Aufgabenstellung als bild hochgeladen.

---

Dann hast du ja jetzt die Antwort

lul