Berechnung einer kubischen Funktion mit Hilfe von Tangenten

Question

Aufgabe:

Berechnung einer kubischen Funktion mit Hilfe von Tangenten

Problem/Ansatz:

Hallo liebe Mathefreunde,

Wer kann diese Aufgabe lösen ?

Von einer kubischen Funktion f(x) sind folgende Werte bekannt:

das Problem ist hierbei, das zur Berechnung leider ein Wert fehlt.

Zur Berechnung nötig sind die Tangenten T1(x), T2(x), T3(x) und T4(x) an die kubische Funktion f(x).

Die Berührpunkte sind T1(x1) = f(x1)

                                    T2(x2) = f(x2)

                                    T3(x3) = f(x3)

                                    T4(x4) = f(x4)

Zu Hilfe genommen wird eine weitere kubische Funktion g(x), von der leider überhaupt keine Werte bekannt sind.

Es sollen desweiteren folgende Bedingungen gelten.

Tangente T1(0) = g(x1)

Tangente T2(0) = g(x2)

Tangente T3(0) = g(x3)

Tangente T4(0) = g(x4)

T1(0) + T2(0) + T3(0) = T4(0)

f(0) = g(0)

Ich hoffe sehr, dass alles verständlich ist.

Es wäre sehr nett und und wäre sehr dankbar, wenn jemand eine Zeichung machen könnte / würde.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin

Text erkannt:

kubische Funktion \( f(x) \)
\begin{tabular}{|rrrr|}
\hline\( x 1 \) & \( x 2 \) & \( x 3 \) & \( x 4 \) \\
\hline 1,20 & 2,10 & 2,30 & 5,60 \\
\hline\( f(x 1) \) & \( f(x 2) \) & \( f(x 3) \) & \( f(x 4) \) \\
\hline \( 2.088 \) & \( 1.083,6 \) & 696,1333 & \\
\hline
\end{tabular}

Answer 1

Hallo Martin,

die hier gesuchte kubische Funktion ist ein alter Bekannter aus Deiner Frage vom 31.Dez 22. Dort ist es die Stammfunktion \(F(x)\), die da lautet:$$f\left(x\right)=\frac{200}{3}x^{3}-1120x^{2}+2022x+1159,2$$

Zu Hilfe genommen wird eine weitere kubische Funktion g(x), von der leider überhaupt keine Werte bekannt sind.

Da von \(g(x)\) nichts bekannt ist, was nicht aus \(f(x)\) folgt, so ist das auch keine Hilfe. Dies hättest Du weg lassen können.

Es wäre sehr nett und und wäre sehr dankbar, wenn jemand eine Zeichung machen könnte / würde.

Die Zeichnung hast Du schon bekommen! Sie findet sich in meiner Antwort auf die oben erwähnte Frage. Ich habe sie nochmal unter dem Aspekt der neuen Frage erstellt. Der Graph von \(f(x)\) ist der blaue:

https://www.desmos.com/calculator/tgcw69wnvp

Du kannst den Funktionswert \(f(x_4)\) mit der Maus auf der gestrichelten Vertkalen verschieben. Den korrekten Wert hat man dann gefunden, wenn oben der Achsenabschnitt der roten Tangente an \(f(x_4)\) (die rote Zahl) mit der Summe der Achsenabschnitte der grünen Tangenten (die grüne Zahl) überein stimmt. Der am besten passende Wert für \(f(x_4)\) liegt bei$$f(x_4) \approx -10933,067$$

Die Lösung von wächter stimmt übrigens mit diesem \(f(x)\) gut überein - auch wenn es nicht so aussieht. Ein wesentlicher Unterschied rührt daher, dass wächter wohl aus Versehen \(f(x_1)=2008\) statt \(f(x_1)=2088\) für die Berechnung verwendet hat.

Es wäre nett (und hilfreich!), wenn Du uns mitteilst wie Du zu diesen Aufgaben kommst, bzw. was das am Ende werden soll, wenn es fertig ist. Wo kommen z.B. die Koordinaten der ersten drei Punkte her?

Nachtrag:

die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):
im kubischen     Parameter         Faktor     -2
"  quadratischen "                          "              -1
"    linearen         "                          "              0        (hast Du schon aufgeschrieben)
"    konstanten   "                          "              1        Gleichheit bei C
(diesesmal ist es aber wirklich eine ARITHMETISCHE Folge)

Ja - diesen Zusammenhang gibt es tatsächlich und er gilt nicht nur für kubische Polymnome sondern für alle Polynome ab 1.Ordnung..

Satz (von Martin)

Wählt man bei einem beliebigen Polynom \(f(x)\) der Ordnung \(n\) $$f(x)= \sum\limits_{k=0}^{n} c_{fk} x^{k}$$\(n+1\) paarweise verschiedener Stützstellen und legt dort die Tangenten an das Polynom an, dann bilden die Achsenabschnittswerte dieser Tangenten zusammen mit der zugehörigen X-Koordinate der Stützstelle \(n+1\) Punkte. Bestimmt man das Polynom \(g(x)\) \(n\)'ter Ordung durch diese Punkte so ergeben sich die Koeffizienten \(c_{gk}\) von \(g(x)\) aus den Koeffizienten \(c_{fk}\) von \(f(x)\) mittels Multiplikation mit einem Element \(d_k\) aus einer arithmetischen Reihe - mit:$$g(x)= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{gk}x^{k} \quad c_{gk} = c_{fk} \cdot d_k \quad d_k = 1- k$$

Zur Demonstration:

https://www.desmos.com/calculator/kw0d5mhjiz

Der Graph von \(f(x)\) ist blau und der von \(g(x)\) ist rot dargestellt. Man kann oben im Bild den schwarzen Punkt in der Mitte seitlich auf \(f(x)\) verschieben. Verschiebt man den Achsenabschnittspunkt der zugehörigen Tangente auf die aktuelle X-Koordinate so trifft man steht auf den Graphen von \(g(x)\). Das geht auch dann, wenn man \(f(x)\) durch vertikales Verschieben der roten Punkte verändert.

Beweis:

Eiin Polynom \(f(x)\) und seine Ableitung \(f'(x)\) ist bekannterweise$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} \\ f'(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k-1}$$Die Tangente \(t(x)\) im Punkt \(x_0\) und ihr Achsenabschnitt \(t(0)\) ist$$t(x)=p'(x_0)(x-x_{0}) + p(x_{0}) \implies t_{0}(0)=p(x_{0})-x_jp'(x_{0})$$dies soll der Funktionswert von \(g(x_0)\) sein. Also:$$g(x_0)= p(x_{0})-x_{0}p'(x_{0})$$bzw.:$$\begin{aligned} g(x) &= p(x)-xp'(x)\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} - x\sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k-1} \\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{fk}x^{k} - \sum\limits_{k=1}^{n}k\,c_{fk}x^{k} \\ &= c_{f0} + \sum\limits_{k=1}^{n}\left(c_{fk}- k\,c_{fk}\right)x^{k}\\ &= c_{f0} + \sum\limits_{k=1}^{n}c_{ck}\left(1-k\right)x^{k}\\ &= \sum\limits_{k=0}^{n}c_{ck}\underbrace{\left(1-k\right)}_{=d_k}x^{k}\\ \implies c_{gk} &= (1-k)c_{fk} \end{aligned}$$herzlichen Glückwunsch ;-)

Gruß Werner

Comments

Yep, hatte 2 Tippfehler (von y3 die Nachkommastellen abgeschnitten) und mit korrigierten Werten komm ich auch auf Deine Funktion ( y3 als Bruch 15.tel )

Vielleicht soll ja diese obsolete Funktion g(x) auch bestimmt werden?

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Hallo wächter,

ja, bitte g(x) und f(x) gegenüber stellen und den Unterschied in den Parameter ansehen.

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Hallo lieber Werner,

ja, es ist eine ERWEITERUNG der alten Bekannten, aber NUR deshalb, damit hier zusätzlich noch g(x) mit einbezogen werden konnte und nur deshalb hatte ich die Aufgabe anders formuliert, (Bitte unbedingt noch g(x) berechnen. Hatte ich vorher nur deshalb nicht hingeschrieben, damit es nicht wieder zu unübersichtlich wird. Sonst hätte ich ja schreiben müssen: Berechnen Sie eine HILFS-Funktion und das wäre wohl wieder verwirrend gewesen. Warum Hilfesfunktion ..., aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) benötigt wird. - jedenfalls von mir ! - )

Bitte jetzt noch g(x) und f(x) gegenüber stellen und den Unterschied in den einzelnen Parametern vergleichen. Was fällt in der Beziehung / Struktur zwischen beiden Funktionen auf ?

Es wäre sehr schön, wenn in die Zeichnung auch noch g(x) aufgenommen werden könnte. Kann man die Zeichnung noch nachträglich erweitern ?

Wo die Werte herkommen, wollte ich ja in den anderen offenen Fragen erklären, was mir aber bislang leider nicht gelungen ist. Bitte deshalb erst einmal zurückstellen.

Ich mache morgen eine neue Frage mit einer Flächenberechnung auf, wo ebenfalls wieder alte Bekannte erscheinen werden, (ist ja alles ein "Gesamtpaket" mit vielen Teilberechnungen.)

Stichwort: experimentelle Mathematik mit vielen Strukturen

Ich hoffe, dass es erst einmal so okay ist. (Ich will mich in meinen Erläuterungen etwas zurückhalten. Auch hatte ich mir diesesmal bei der Formulierung besonders viel Mühe gegeben. Schön, dass hier diese umgeänderte Aufgabe diesesmal ohne Rückfragen "durchgelaufen" ist.)

Vielen, vielen Dank,

Gute Nacht (23:59 Uhr)

Martin

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Bitte unbedingt noch g(x) berechnen. Hatte ich vorher nur deshalb nicht hingeschrieben, damit es nicht wieder zu unübersichtlich wird

Oh - meine Güte! Es wäre einfacher gewesen, wenn Du geschrieben hättest, dass das \(f(x)\) das \(F(x)\) aus Deiner ersten Frage ist, und nun das \(g(x)\) gesucht wird.

Aber egal - eine kubische Funktion durch vier Punkte ist ein Standardproblem:$$g\left(x\right)=-\frac{400}{3}x^{3}+1120x^{2}+1159.2$$sieht auch irgendwie vertraut aus! Der lineare Teil ist \(=0\).

... aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) benötigt wird.

ist es nicht eher umgekehrt?

Es wäre sehr schön, wenn in die Zeichnung auch noch g(x) aufgenommen werden könnte. Kann man die Zeichnung noch nachträglich erweitern ?

Bitteschön: (\(g(x)\) ist der rote Graph)

https://www.desmos.com/calculator/4dournvcnw

das kannst Du auch selbst machen (wenn Dir die Funktion bekannt ist). Drücke dazu auf das Emblem "edit graph on desmos" rechts unten im Bild. Dann öffnet sich die Desmos-App und Du kannst links im Script Funktionen hinzu fügen.

Hast Du übrigens mal probiert den Wert von \(f(x_4=5.6)\) im Bild mit der Maus zu verschieben? \(g(x)\) wird dabei leider nicht aktualisiert; das musste ich außerhalb von Desmos berechnen.

Auch hatte ich mir diesesmal bei der Formulierung besonders viel Mühe gegeben. Schön, dass hier diese umgeänderte Aufgabe diesesmal ohne Rückfragen "durchgelaufen" ist

Ja ja - es ist nicht einfach, Fragen zu stellen. In einer gut gestellten Frage liegt schon ein beträchtlicher Teil der Lösung!

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Hallo lieber Werner-Salomon,

die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):

im kubischen       Parameter           Faktor      -2

"   quadratischen "                          "               -1

"    linearen          "                          "               0        (hast Du schon aufgeschrieben)

"    konstanten     "                          "               1        Gleichheit bei C

(diesesmal ist es aber wirklich eine ARITHMETISCHE Folge)

... aber so sieht man, dass diese Hilfsfunktion g(x) zur Berechnung von f(x) benötigt wird.

ANTWORT: Gedankenspiel: müssen die Werte von f(x1), f(x2) und f(x3) vorab vorliegen ? oder können diese auch anderweitig erst berechnet werden, also eine Integration ohne das bisher bekannte ? Verfahren. Dann wäre g(x) zuerst notwendig.

Zusammenstellung von bisherigen Erkenntnissen

a) "normalerweise" ? wird die Tangente berechnet, wenn die Funktion dazu vorliegt. In diesem Fall wird die Tangente aber VORAB als Gerade mit 2 ! Berührpunkten berechnet.

1x von f(x) her (wie bekannt)

UND

1x von g(x) her immer an der Stelle 0.

Beziehung von f(x) und g(x) wie oben mit der arithmetischen Folge beschrieben.

b) "alte Bekannte"

1.) in dieser Aufgabe wurde f(x4) berechnet

= Wendestelle = rechter Rand des Intervalls für die noch kommende Flächenberechnung UND

2.) in einer vorherigen Berechnung wurde eine quadratische Funktion integriert und C berechnet.

C = f(0) = linker Rand des Intervalls ..............

Verschiedene Berechnungen 1.) und 2,) ergeben die gleiche Funktion f(x).

Wir haben also jetzt für diese "alte Bekannte" insgesamt 5 Stützstellen vorliegen.

Vorteil ? (mehr Stützstellen machen ein Ergebnis genauer. Ist hier aber von mir nicht zu erkennen !? = ungelöst !)

Ja, ich hatte selbser schon versucht, eine ganz neue andere Zeichnung anzufertigen, was aber leider nicht funktioniert hatte. Vielen Dank für die Anleitung. Ich werde es mir noch anschauen.

Vielen Dank für die neue Zeichnung, aber ich dachte, dass man darauf den Zusammenhang von f(x) und g(x) "auf Anhieb" sehen könnte.

Ich gebe BESTE ANTWORT und mache dann heute Abend eine neue Frage auf.

Vielen, vielen Dank lieber Werner

Tschüß

Martin

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die Beziehung zwischen f(x) und g(x) ist: (ja, irgendwie vertraut):

Ja - und da gibt es eine Regel, die ich oben in der Antwort in einem Nachtrag (s.o.) formuliert und bewiesen habe!

Dem was Du noch schreibst über "Integration" und "5.Stützstelle" und "Intervall" kann ich nicht folgen. Da musst Du noch ein wenig an Deiner mathematischen Beschreibungssprache arbeiten ;-)

Wir haben also jetzt für diese "alte Bekannte" insgesamt 5 Stützstellen vorliegen.
Vorteil ? (mehr Stützstellen machen ein Ergebnis genauer ...

Oh nein - ganz genau und eindeutig ist es nur bei vier Stützstellen für eine kubische Funktion - bzw. allgemein \(n+1\) Stützstellen für ein Polynom \(n\)'ter Ordnung.

Vielen Dank für die neue Zeichnung, aber ich dachte, dass man darauf den Zusammenhang von f(x) und g(x) "auf Anhieb" sehen könnte.

man sieht den Zusammenhang. Dafür habe ich extra die gelben gestrichelten Geraden hinzu gefügt. Besser vielleicht in dem zweiten Bild, was mehr Interaktion bietet

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Hallo lieber Werner,

Ich bin jetzt sehr überrascht. Gab es DIESEN Satz wirklich noch nicht ? Das wäre ja unglaublich, weil es doch in den letzten vielen Jahrhunderten Tausende von Mathematikern gab !

ich meinte die 5 Stützstellen

0                 x1=1,2                     x2=2,1                     x3=2,3                Extremstelle 5,6

okay, es sind aber nur 4 Rechtecke ("Streifen") nötig.

Ich bin etwas verwirrt, weil oben stand, das meine Frage von gestern bezüglich der Flächenberechnung gelöscht ! wurde, ich diese aber trotzdem noch sehen ! kann.

Ich glaube, dass "normalerweise" ? eine Funktion vorliegt und danach die Fläche berechnet wird, Ich hatte aber als Fläche eine Konstante berechnet und angegeben, um aufzuzeigen, dass damit u.a. wieder die alte Bekannte Funktion berechnet wird.

Diese Frage kann doch eigentlich noch nicht vorhanden sein oder liegt es an meiner Überschrift ?

Ich habe diese Aufgabe heute aber noch einmal abgeändert. Gestern war die Konstante eine Fläche zwischen g(0) und g(5,6). Heute habe ich "Streifen gebastelt".

Nach dieser Berechnung wollte ich mit den kubischen Funktionen erst einmal aufhören, obwohl ich (unabhängig von diesem Projekt) schon bei der Integration zu einer quartischen Funktion eine Besonderheit bei C gesehen habe. Aber das alles später einmal.

Ich wollte danach mit meiner nächsten Berechnung zum Anfang zurückgehen. (Flächenberechnung -statt für kubische Funktion- dann lineare Funktion). Da würdest Du dann auch wieder einen Zusammenhang sehen, womit wir schon gerechnet haben, was aber "versteckt" war / ist.

Flächenberechnungen stehen bei diesem Projekt am Anfang und am Ende.

Ich freue mich SEHR auf unsere weitere Zusammenarbeit.

Vielen, vielen lieben Dank im voraus und nochmals die Bitte um Entschuldigung für mein schlechtes "Mathedeutsch".

Gute Nacht lieber Werner

Martin Hümer, Wesertal (Lippoldsberg)

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Hallo lieber Werner,

a.) Deine Frage, woher die Werte von f(x) kommen.

(Ich schreibe es hier, damit nicht Mathefreunde, die meine neue kommende Frage lesen, nicht verwirrt werden, weil sie den Zusammenhang nicht kennen.)

1.) (so ziemlich am Anfang) steht eine Flächenberechnung mit dort nur 3 Stützstellen, die umgeformt zu einer Geradengleichung führen. (Frage folgt).

(Hier in der letzten Aufgabe waren es ja mehrere Stützstellen für eine höherwertige = kubische Funktion.)

2.) mit dieser Geraden wird u.a. die Iteration ausgeführt (Frage wurde bislang noch zurückgestellt.)

3.) Auf die vorherige Berechnung aufbauend wird eine Grenze ermittelt (= paralle Kurven) (Frage wurde bislang ebenfalls zurückgestellt und enthält Deine 3 Zeichungen, die noch nicht zusammengeführt sind.)

4.) Diese 2 Kurven werden im gleichen Abstand zueinander auf der y-Achse verschoben, bis f(1,2)+f(2,1)+f(2,3)=f(1,2+2,1+2,3) entsteht (Bedingung hatte ich in meiner allerersten Frage schon berücksichtigt).

5.) Diese 2 Kurven werden unterschiedlich behandelt. Für die UNTERE Kurve hatte ich noch keine Berechnung beschrieben, die OBERE Kurve ist die "alte Bekannte" f(x), die in mehreren bereits beschriebenen Berechnungen enthalten ist = ebenfalls mehrere Herleitungen wie bei der UNTEREN Kurve.

6.) dann noch integriert und C berechnet (Frage ist bereits erledigt).

Dann haben wir ja die Werte für f(x) und "ich" habe dann f(1,2) und f(2,1) und f(2,3) berechnet. (bzw. ein Internetrechner hat es für mich erledigt)

ABER was mich besonders beschäftigt und worauf ich KEINE Antwort kenne (falls es überhaupt Eine gibt), ist:

b.) eine Tangente besteht ja aus einem linearen Teil und einem konstanten Teil = b1,b2,b3 und b4.

b1,b2,b3 und b4 haben wir aber zu einer anderen kubischen Funktion berechnet, sodass nach Substitution dieser Konstenten b1, b2, b3 und b4 und Zusammenfassung aller Terme eine neue Funktion entsteht. Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich ursprünglich um Tangenten handelte. Was ist das für eine Funktion ? Hat sie eine Bedeutung ? Kann man da noch etwas herausfinden ? (eventuell eine neue Frage ?) oder ist sie nur "gemauschelte Spielerei" ?

Vielen, vielen Dank im voraus

Martin Hümer, Wesertal

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noch ein Nachtrag:

ich hatte heute Abend in meinem Gleichungssystem einen (unlogischen) "Platzhalter" durch den richtigen Term ausgetauscht und es funktioniert sensationell. Sonst kam immer eine Fehlermeldung wie "kein eindeutiges Ergebnis" (war ebenfalls meine Vermutung, wenn man sich diese Teilaufgabe ansieht) oder "Gleichungssystem nicht lösbar".

Ich hatte aber gestern statt nur einer Fläche mehrere Rechtecke "aufgenommen" und jetzt funktioniert es. Ist wahrscheinlich irgendwie wieder voneinander abhängig.

Es ist sehr schön, aber auch interessant, das Du bei den Aufgaben auf anderen Rechenwegen (als meinen Gleichungssystem) ebenfalls zur identischen Lösung kommst und in ALLEN Aufgaben eine Bestätigung der Richtigkeit.

Die Flächenberechnung (wie bereits mitgeteilt) und die sich daran anschließende Anfangsberechnung werde ich vorerst "nach hinter verschieben" und Dir diese neue Berechnung davor zuerst mitteilen. Ich muss sie aber erst ausformulieren, damit sie als Teilberechnung ebenfalls lösbar ist.

nur soviel vorab:

von der "alten Bekannten" f(x) = OBERE kubische Kurve verläuft eine weitere Tangente durch die UNTERE kubische Kurve.

Beide Funktionen f(x) und g(x) haben ein identisches C und das b4 von der Tangente.

Beide Funktionen haben weiterhin natürlich an der Stelle 5,6 jeweils einen Wendepunkt.

Vielen, vielen Dank, lieber Werner, im voraus

Gute Nacht

Martin Hümer, Wesertal

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Hallo liebe Mathefreunde,

die oben von mir selbst gestellte Frage habe ich heute mittag beantwortet:

Eine Tangente hat nur einen Berührpunkt mit einer kubischen Funktion f(x).

Jetzt habe ich sowohl den linearen als auch den konstanten Teil dieser Tangente ebenfalls durch 2 weitere kubische Funktionen ersetzt (Substitution).

Diese neue kubische Funktion gleichgesetzt mit f(x) hat jetzt 2 ! Berührpunkte.

Zusammenfassung;

lineare Funktion (Tangente) = 1 Berührpunkt mit f(x)

kubische Funktion (hier fehlender Name dafür hinschreiben -entsprechend wie vorher bei Tangente- ?) = 2 Berührpunkte mit f(x).

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Hallo liebe Mathefreunde,

ich weiss nicht, was mir geogebra in der vorherigen Zeichung "gemalt" hat. Es wurden 2 Punkte gekennzeichnet (die Eingabe dazu werde ich noch einmal überprüfen).

ABER: LEIDER habe ich erst DANACH diese Gleichung ausrechnen lassen und bekam dann überraschenderweise die Fehlermeldung "... allgemeingültig". Erst danach hatte ich diese Gleichung überprüft und leider dann erst gesehen, dass sich beide Seiten gegeneinander aufheben.

Ich bitte vielmals um Entschuldigung für DIESEN, meinen Fehler.

Die ANDEREN Zeichungen sind aber ALLE korrekt, wie Ihr selber feststellen konntet.

Vielen, vielen Dank.

Gute Nacht

Tschüß

Martin Hümer

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Hallo Martin,

Ich bin jetzt sehr überrascht. Gab es DIESEN Satz wirklich noch nicht ?

Na ja - ich kannte das nicht. Es ist jetzt aber auch so, dass es sich um ein relativ simple Umwandlung (math.: Abbildung) eines Polynoms in ein anderes handelt. Du kannst Dir da unendlich viele Abbildungen ausdenken. Und jede Abbildung hat irgendwelche Eigenschaften, die irgendwie interessant aussehen können.

Oder in Kürze: kann sein, dass es diesen Satz noch nicht gab, aber es ist auch nichts besonderes.

ABER was mich besonders beschäftigt und worauf ich KEINE Antwort kenne (falls es überhaupt Eine gibt), ist:

b.) eine Tangente besteht ja aus einem linearen Teil und einem konstanten Teil = b1,b2,b3 und b4.

b1,b2,b3 und b4 haben wir aber zu einer anderen kubischen Funktion berechnet, sodass nach Substitution dieser Konstenten b1, b2, b3 und b4 und Zusammenfassung aller Terme eine neue Funktion entsteht. Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich ursprünglich um Tangenten handelte. Was ist das für eine Funktion ?

Ich denke Deine Frage bezieht sich auf die oben erwähnte Abbildung. Und wenn ich den ersten Teil Deiner Frage richtig verstehe, dann fragst Du ob diese Abbildung umkehrbar ist. Das ist sie nicht, weil das lineare Glied der Eingangsfunktion entfällt, das kann also nach der Multiplikation mit \(0\) nicht rückwärts wieder hergestellt werden, zumindest nicht eindeutig.

Hat sie eine Bedeutung ? Kann man da noch etwas herausfinden ? (eventuell eine neue Frage ?) oder ist sie nur "gemauschelte Spielerei" ?

es ist zunächst mal "nur" eine Berechnung. Eine Berechnung im Allgemeinen hat aus sich heraus nie eine "Bedeutung".

Gruß Werner

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Hallo lieber Werner,

1.) meine VORHERIGE Zeichnung war - wie bereits geschrieben - leider falsch. Schade, dass ich diese nicht selber löschen kann.

2.) meine Frage u.a. war: ... Dabei ist ja nicht mehr ersichtlich, dass es sich ursprünglich um Tangenten handelte. Was ist das für eine Funktion ?

Das habe ich mir mittlerweile selber beantworten können. Wenn man jeweils beide Teile - den linearen Teil sowie b - der Tangente jeweils mit einem Polynom substituiert, heben sich nach Gleichsetzung mit der Stammfunktion BEIDE Seiten gegeneinander auf.

3.) noch eine Anmerkung zu diesem Verfahren, was ich selber in der Zwischenzeit noch herausgefunden habe und wofür ich eine Zeichnung angefertigt habe.

f(x) ist hier wieder die Stammfunktion.

Wenn man an einer x-beliebigen Stelle ein Lot zwischen g(x) und f(x) zieht,

dann von g(x) eine waagerechte Linie bis zur Stelle 0, ist die Hypotenuse dieses Dreiecks gleichzeitig die Tangente von f(x).

Ich habe daraufhin gestern einmal unter google nach den Stichwörtern Tangente und Hypotenuse gesucht. Mir wurde ein umfangreicher mehrseitiger Text angezeigt: Einleitung in die Differential- und Integralrechnung - in Buchform und allerdings leider in alter "unleserlicher" Schrift -. Dieser ist von einem Carl Snell, 1846, Prof. in Jena geschrieben worden. Ich vermute anhand einiger Stichwörter aus diesem Text, das ER dieses Verfahren erstmalig herausgefunden hat.

ABER:

Warum ist dieser Herr Snell eigentlich unbekannt und warum wird in keinem meiner Mathebücher (Matheduden, math. Formelsammlung, Math. von Bertelsmann, usw.) sowie auf math. Internetseiten etwas davon erwähnt ? (hatte ich ja dort erst später gefunden, nachdem ich bewusst danach gegooglt hatte.)

Es ist ja keine von unendlich vielen speziellen Folgeberechnungen, für die in Buchform kein Platz wäre, sondern eigentlich um ein (Grund)Verfahren, was als Stichwort / Zusatz bei Tangente beschrieben werden könnte / müsste.

Auch hier wieder vielen, vielen Dank für Deine Bemühungen.

Tschüß

Martin Hümer

Answer 2

Hm,

aweng too much?

Ein Versuch - ohne Gewähr (Tippfehler korrigiert)

wenn man die 3 Punkte und die Tangentengleichungen mit T1(0) + T2(0) + T3(0) = T4(0) rausnimmt

 \(f_o(x) \, :=  \, a_3 \; x^{3} + a_2 \; x^{2} + a_1 \; x + a_0\)

\(T_i(u) \, :=  \, f_o'\left(u \right) \; \left(x - u \right) + f_o\left(u \right)\)

\( \left(\begin{array}{r}a_0 + 1.2 \; a_1 + 1.44 \; a_2 + 1.728 \; a_3\\a_0 + 2.1 \; a_1 + 4.41 \; a_2 + 9.261 \; a_3\\a_0 + 2.3 \; a_1 + 5.29 \; a_2 + 12.167 \; a_3\\3 \; a_0 - 11.14 \; a_2 - 46.312 \; a_3\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}2088\\1083.6\\696.133\\a_0 - 31.36 \; a_2 - 351.232 \; a_3\\\end{array}\right)\)

damit komm ich auf

\(f(x) \, :=  \, \frac{200}{3} \; x^{3} - 1120 \; x^{2} + 2022 \; x + \frac{5796}{5}\)

z.B: \(T_1(x) \, :=  \, -378 \; x + \frac{12708}{5}\), ....

T₁(X₁)== f(X₁)

wie und ob weitere Vorgaben dazu passen hab ich nicht überprüft...

Comments

Hallo wächter,

f(x) ist richtig berechnet.

vielen Dank,

---

Hallo lul,

Bitte die ANDERE Frage NICHT löschen. Sie ist von mir erdacht worden und KANN eigentlich nicht schon existieren. Es geht um eine FLÄCHE.

Die ANDERE Frage hat einen ANDEREN Text (nur die ERSTEN Wörter sind identisch).

Bitte einmal überprüfen.

Vielen, vielen Dank im voraus.

mit freundlichen Grüßen von der Weser

Martin

Falls die Frage doch weiter bestehen bleibt (vielen Dank) habe ich heute noch eine neue Flächenberechnung durchgeführt.

Berechnet wird jetzt nicht mehr (wie oben angegeben) die Fläche zwischen g(0) und g(5,6) im Intervall 0 und 5,6

sondern:

Addition folgender Rechtecke "Streifen"

  g(0) im Intervall 0 und 1,2

+ g(1,2) im Intervall 1,2 und 2,1

+ g(2,1) im Intervall 2,1 und 2,3

+ g(2,3) im Intervall 2,3 und 5,6

ergibt im rechten Ausdruck -31912,03

g(5,6) < g(2,3)

g(2,3) < g(2,1)

g(2,1) < g(1,2)

g(1,2) < g(0)

Vielen, vielen Dank im voraus

Martin