Ob das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung auf ganz \( \mathbb{R} \) hat, hängt von der Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung in einem geeigneten Intervall ab.
Um zu bestimmen, ob eine eindeutige Lösung existiert, kann man die Lipschitz-Bedingung untersuchen.
Die Lipschitz-Bedingung besagt, dass die Ableitung von \( (f(t, y) = t^{3}+\cos \left(t^{3} y\right)) \) in Bezug auf y innerhalb eines geeigneten Intervalls eine endliche Lipschitz-Konstante besitzen muss.
Da die Ableitung von (cos(t^3y)) in Bezug auf y = -sin(t^3y)*t^3.
Da sin(t) eine endliche und die Ableitung von t^3 endlich ist.
Daher ist f(t,y) Lipschitz-stetig in Bezug auf y und es gilt die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung im Intervall \( (( -\infty, +\infty) ) \).
Daher hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung auf ganz \( \mathbb{R} \).
