Verständnisfrage Kurvendiskussion

Question

Aufgabe: \( y=\frac{2 x^{3}}{3 x^{2}-x-1} \)

Kurvendiskussion:

Berechnen Sie Nullstellen:

Da hier ja die Polynomdivision angewendet werden muss habe ich dies gemacht und bin zum folgenden Ergebnis gekommen:

\( =\frac{2}{3} x+\frac{2}{9}+\left(\frac{\frac{8}{9} x+\frac{2}{9}}{3 x^{2}-x-1}\right) \)

Was genau ist denn aber hier meine Nullstelle bzw meine Nullstellen?

Schnittpunkte mit der y -Achse:

Hier habe ich einfach 0 in die Funktion gesetzt und als Ergebnis kam

y=0 raus.

Pole:

Hier habe ich den Nenner genommen und durch 3: geteilt damit vorne x^2 alleine steht und ich die PQ Formel anwenden kann.

Als Ergebnis habe ich:

\( x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6} \)

\( x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6} \)

Asymptote

1 mal eine Senkrechte Asymptote  bei

\( x_{1}=\frac{1+\sqrt{13}}{6} \)
\( x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6} \)

und 1 mal eine schiefe asymptote bei

\( =\frac{2}{3} x+\frac{2}{9} \)

Extremwerte

Bei den Extremwerten muss man ja eigentlich

die 1. Ableitung bilden, die 2.Ableitung.

Dann die 1.Ableitung = 0 setzten. etc.. Und genau hier habe ich auch meine Probleme ich komme irgendwie mit der Ableitung und dem weitern verfahren hier nicht weiter.

und
Wendepunkte

genau das gleiche bei den Wendepunkten

erstellen Sie eine Skizze des Funktionsgraphen.

Problem/Ansatz:

Nullstellen,Extremwerte, Wendepunkte,

Answer 1

Berechnen Sie Nullstellen:

Du brauchst nur den Zähler gleich Null setzen. Der Nenner darf dabei nicht Null werden.

2x^3 = 0

Nach dem Satz vom Nullprodukt kann 2 nicht Null sein und x = 0 ist eine dreifache Nullstelle.

Wenn man 0 für x in den Nenner einsetzt, kommt auch nicht 0 heraus was zu überprüfen ist.

Schnittpunkte mit der y -Achse

Das hast du richtig gemacht. Also ist (0 | 0) der Schnittpunkt mit der y-Achse.

Polstelle

Richtig hier sind die Nullstellen des Nenners gefragt

3x^2 - x - 1 = 0 --> x = 1/6 ± √13/6

Und auch das hast du richtig berechnet. Und auch richtig geschrieben das sich hier senkrechte Asymptoten befinden.

Asymptoten

Neben den senkrechten Asymptoten gibt es wie du auch richtig gesagt hast noch die schiefe Asymptote

y = 2/3*x + 2/9

Extremwerte

Bilde die Ableitungen mit der Quotientenregel.

f(x) = 2·x^3/(3·x^2 - x - 1)
f'(x) = (6·x^4 - 4·x^3 - 6·x^2)/(3·x^2 - x - 1)^2
f''(x) = (16·x^3 + 12·x^2 + 12·x)/(3·x^2 - x - 1)^3

Wenn du jetzt die Nullstellen bestimmst brauchst du nur wieder den Zähler gleich Null setzen. Die Nullstellen des Nenners kennst du ja bereits und die ändern sich ja auch nicht mehr.