Volumen eines Tetraeders mit Eckpunkten berechnen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, daß das Volumen eines Tetraeders mit den Eckpunkten

(0, 0, 0),

(a, 0, 0),

(0, b, 0) und

(0, 0, c)

für beliebige positive a, b, c ∈ R exakt gleich abc/6 beträgt.

Problem/Ansatz:

… Wie komme ich auf abc/6?

Answer 1

Berechne drei in einer Ecke beginnende Kantenvektoren sowie 1/3 des Spatprodukts. Dann erhältst du abc/6.

Comments

Spatprodukt find ich auch nett. +1 :-)

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@trancelocation: Danke für die Anerkennung. Es geht in diesem einfachen Falle sogar elementargeometrisch.

Answer 2

Ich bezeichne das Teatreder mit \(T(a,b,c)\) und das Volumen mit \(V(a,b,c)\). Dann gilt

\(V(a,b,c) = \int_{T(a,b,c)}1\;d(x,y,z)\)

Substituiere \(x=au, y=bv, z = cw\), dann gilt

\(V(a,b,c)= abc\int_{T(1,1,1)}1 \;d(u,v,w) \)

Wir brauchen also nur noch das Volumen des Tetraeders \(T(1,1,1)\).

Die vom Urpsrung verschiedenen Eckpunkte von \(T(1,1,1)\) sind die Schnittpunkte der Ebene

\(u+v+w=1\)

mit den Koordinatenachsen.

Wir benutzen nun Kavalieri und schneiden das Teatraeder mit Ebenen parallel zur uv-Ebene.

Auf der Höhe \(0\leq w\leq 1\) haben wir die Dreicksfläche \(A(w)\) mit

\(u+v = 1-w \Rightarrow A(w) = \frac 12 (1-w)^2\)

\(\Rightarrow V(1,1,1) = \int_0^1 \frac 12 (1-w)^2\; dw= -\frac 16 \left.(1-w)^3 \right|_0^1 = \frac 16\)

Insgesamt:

\(V(a,b,c)= abcV(1,1,1) = \frac{abc}6 \)