Volumen eines Tetraeders mit Eckpunkten berechnen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, daß das Volumen eines Tetraeders mit den Eckpunkten

(0, 0, 0),

(a, 0, 0),

(0, b, 0) und

(0, 0, c)

für beliebige positive a, b, c ∈ R exakt gleich abc/6 beträgt.

Problem/Ansatz:

… Wie komme ich auf abc/6?

Answer 1

Berechne drei in einer Ecke beginnende Kantenvektoren sowie 1/3 des Spatprodukts. Dann erhältst du abc/6.

Comments

Spatprodukt find ich auch nett. +1 :-)

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@trancelocation: Danke für die Anerkennung. Es geht in diesem einfachen Falle sogar elementargeometrisch.

Answer 2

Ich bezeichne das Teatreder mit $T(a,b,c)$ und das Volumen mit $V(a,b,c)$. Dann gilt

$V(a,b,c) = \int_{T(a,b,c)}1\;d(x,y,z)$

Substituiere $x=au, y=bv, z = cw$, dann gilt

$V(a,b,c)= abc\int_{T(1,1,1)}1 \;d(u,v,w)$

Wir brauchen also nur noch das Volumen des Tetraeders $T(1,1,1)$.

Die vom Urpsrung verschiedenen Eckpunkte von $T(1,1,1)$ sind die Schnittpunkte der Ebene

$u+v+w=1$

mit den Koordinatenachsen.

Wir benutzen nun Kavalieri und schneiden das Teatraeder mit Ebenen parallel zur uv-Ebene.

Auf der Höhe $0\leq w\leq 1$ haben wir die Dreicksfläche $A(w)$ mit

$u+v = 1-w \Rightarrow A(w) = \frac 12 (1-w)^2$

$\Rightarrow V(1,1,1) = \int_0^1 \frac 12 (1-w)^2\; dw= -\frac 16 \left.(1-w)^3 \right|_0^1 = \frac 16$

Insgesamt:

$V(a,b,c)= abcV(1,1,1) = \frac{abc}6$