Berechne den Grenzwert der Folge x^n, x > 1 mit dem Epsilon-Kriterium

Question

Aufgabe:

Bin grade am Lernen für eine baldige Klausur und versuche den Grenzwert der Folge xⁿ für x > 1 mit dem Epsilon-Kriterium zu berechnen. Bekomme das nur leider nicht so gut hin. Mag mir vielleicht jemand hier drunter eine Ausführliche Rechnung posten.  Wäre sehr dankbar. ^^

Tue das nach Monaten immer noch nicht so gut verstehen... ;/

Comments

Wirklich x>1 dann geht das gegen oo und man kann nur zeigen dass es größer jedem n in N ist.

lul

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Genau, wie zeige ich den sowas? Also das:

man kann nur zeigen dass es größer jedem n in N ist

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zu jedem N schreibe x^n<N und rechne n aus.wegen x>1 ist ln x>0

lul

Answer 1

Die Folge hat keine reelle obere Schranke.

Angenommen es sei c>0 so eine Schranke, dann müsste für alle n∈ℕ gelten

                         x^n ≤ c

Da alles positiv ist, kann man ln(...) anwenden und hat

==>        ln(x^n) ≤ ln(c)  , da ln monoton steigend ist.

==>   n * ln(x) ≤ ln(c)

Wegen x>1 ist ln(x)>0 also folgt

 ==>      n ≤ ln(c) / ln(x)

Das kann aber nicht für alle n∈ℕ gelten (Axiom des Archimedes).

Also hat die Folge keine reelle obere Schranke und

damit auch keinen Grenzwert.  q.e.d.