Ungleichung Mithilfe Taylorpolynome, Monotoniekritikum und Mittelwertsatz beweisen

Question

Aufgabe:

Sei f : ]1, ∞[ → R gegeben durch f (x) := ln(x). Beweisen Sie die folgende Ungleichung
(x − 1) − ((x − 1)²/ 2) < ln(x) < x − 1, für x ∈ ]1, ∞[.
a) mit Hilfe der Taylorpolynome T1(x) und T2(x) mit Entwicklungspunkt x0 = 1.
b) mit Hilfe des Monotoniekriteriums (die linke Ungleichung) und mit Hilfe des Mittelwert-
satzes (die rechte Ungleichung).

ich hab bei a die Taylorpolynome berechnet und da kam für T1 von die drei Funktionen genau das gleiche Ergebnis.

beim T2 war die Antwort nur beim x-1 anders.. ich weiß nicht ob das richtig ist.

gibt es bei b eine Vorgehensweise?

könnte mir jemand bitte weiterhelfen?

vielen Dank!

Answer 1

Hallo

TP1 für ln(x) um 1 ist T1=x-1  T2=x-1-(x-1)^2 /2

die anderen sind ihre eigenen TP

Also steht da  (x − 1) − ((x − 1)2/ 2)<T1(ln(x)=x-1

und (x − 1) − ((x − 1)2/ 2)=T2(ln(x)<x-1

(x − 1) − ((x − 1)2/ 2) wächst bis x=2 schwächer als lax und fällt danach während ln(x) monoton steigt.

Gruß lul

Comments

danke sehr! :)