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Bei dem Gebiet \(G\) handelt es sich um ein Dreieck:
Deine Parametrisierung \((x\in[0;2]\;;\;y\in[0;3])\) beschreibt jedoch ein Rechteck. Daher muss die Menge \(G\) zunächst korrekt parametrisiert werden. Die naheliegendste Parametrisierung ist, die Gerade \(y=\frac32x\) als Untergrenze für die \(y\)-Werte anzusehen:$$G=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,|\,0\le x\le2\;\land\;\frac32x\le y\le3\right\}$$Das würde aber bedeuten, dass wir zuerst über \(dy\) bei festgehaltenem \(x\) integrieren müssen und anschließend über \(dx\) integrieren müssen. Das führt uns auf exakt dasselbe Problem, das du aktuell hast, nämlich das Integral von \(\sin(y^3)\) zu bestimmen.
Zur Umgehung dieses Problems parametrisieren wir die Menge \(G\) anders:$$G=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,|\,0\le y\le3\;\land\;0\le x\le\frac23y\right\}$$Jetzt müssen wir nämlich zuerst über \(dx\) bei festgehaltenem \(y\) integrieren, wodurch das Integral sehr einfach wird:$$I=\iint\limits_G x\sin(y^3)\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^3\;\,\int\limits_{x=0}^{\frac23y} x\sin(y^3)\,dx\,dy=\int\limits_{y=0}^3\left[\frac{x^2}{2}\sin(y^3)\right]_{x=0}^{\frac23y}dy$$$$\phantom I=\int\limits_{y=0}^3\frac29y^2\sin(y^3)\,dy=\frac{2}{27}\int\limits_{y=0}^33y^2\sin(y^3)\,dy=\frac{2}{27}\left[-\cos(y^3)\right]_{y=0}^3$$$$\phantom I=\frac{2}{27}\left(-\cos(27)+\cos(0)\right)=\frac{2}{27}\left(1-\cos(27)\right)\approx0,0957$$Beachte, dass die Zahl \(27\) im Argument des Cosinus keine Gradangabe ist.
