Zeigen Sie nur mit der Definition die Differenzierbarkeit der Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x):=xn und bestimmen Sie …

Question

Text erkannt:

a) Es sei $n \in \mathbb{N}$. Zeigen Sie nur mit der Definition die Differenzierbarkeit der Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=x^{n}$ und bestimmen Sie die Ableitung von $f$.
b) Zeigen Sie, dass die Funktion $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ mit $f(x):=\sqrt{x}$ im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Problem/Ansatz: Brauche einen genauen Beweis dafür, da ich für die Klausur lerne. Vielen Dank.

Comments

Zu (b) betrachte den Differenzenquotienten der Funktion $f(x)=\sqrt x$ an der Stelle $x_0=0$:$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt0}h=\frac{\sqrt h}h=\frac1{\sqrt h}.$$Der Grenzwert für $h\to0$ existiert offenbar nicht. Deshalb ist die Funktion im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}}$

$f´(x) =\frac{1}{2}*x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2*x^{\frac{1}{2}}}$

Wenn du nun $x=0$ einsetzt, dann wäre der Nenner $0$ und das ist nicht erlaubt.

Somit ist $f(x)=\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}}$ nicht differenzierbar.

Comments

Nicht-Differenzierbarkeit kann man auf diese Weise nicht begründen.