Zeigen Sie nur mit der Definition die Differenzierbarkeit der Funktion f: ℝ → ℝ mit f(x):=x^{n} und bestimmen Sie …

Question

Text erkannt:

a) Es sei \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie nur mit der Definition die Differenzierbarkeit der Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=x^{n} \) und bestimmen Sie die Ableitung von \( f \).
b) Zeigen Sie, dass die Funktion \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x):=\sqrt{x} \) im Nullpunkt nicht differenzierbar ist.

Problem/Ansatz: Brauche einen genauen Beweis dafür, da ich für die Klausur lerne. Vielen Dank.

Comments

Zu (b) betrachte den Differenzenquotienten der Funktion \(f(x)=\sqrt x\) an der Stelle \(x_0=0\):$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt0}h=\frac{\sqrt h}h=\frac1{\sqrt h}.$$Der Grenzwert für \(h\to0\) existiert offenbar nicht. Deshalb ist die Funktion im Nullpunkt nicht differenzierbar.

Answer 1

\( f(x)=\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}}\)

\( f´(x) =\frac{1}{2}*x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}*x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2*x^{\frac{1}{2}}}\)

Wenn du nun \(x=0 \) einsetzt, dann wäre der Nenner \(0\) und das ist nicht erlaubt.

Somit ist \( f(x)=\sqrt{x} =x^{\frac{1}{2}}\) nicht differenzierbar.

Comments

Nicht-Differenzierbarkeit kann man auf diese Weise nicht begründen.