Die Funktion f ist gegeben durch \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x\)
Der Graph von f schließt mit der Parabel von g mit \(g (x) = \frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x\) , zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die den Punkt \(D (1|0)\) enthält.
Schnittpunkte bestimmen:
\( \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x=\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x|*4\)
\( 2x^3 - 12 x^2+16x=x^2- 2x\)
\( 2x^3 - 13 x^2+18x=0\)
\( x*(2x^2 - 13 x+18)=0\)
\( x₁=0\)
\( 2x^2 - 13 x=-18\)
\( x^2 - \frac{13}{2} x=-9\)
\( (x - \frac{13}{4})^2=-9+\frac{169}{16}=-\frac{144}{16}+\frac{169}{16}=\frac{25}{16}\)
\( (x - \frac{13}{4})^2=\frac{25}{16} |\sqrt{~~}\)
1.)\( x - \frac{13}{4}=\frac{5}{4} \)
\(x₂=\frac{18}{4} \)
2.)\( x - \frac{13}{4}=-\frac{5}{4} \)
\( x₃=2 \) \(D (1|0)\) liegt zwischen \( x₁=0\) und \( x₃=2 \)
Differenzfunktion:
\(d(x)= \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-(\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-\frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{2}x\)
\(d(x)=\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x\)
\(A= \int\limits_{0}^{2}(\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x)*dx \)
u.s.w.
Falls eine negative Fläche herauskommt | | setzen.
