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Aufgabe:

Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = 1/2x^3 - 3 x^2+4x

Der Graph von f schließt mit der Parabel von g mit g (x) = 1/4x^2- 1/2x , zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die den Punkt D (1|0) enthält.
Problem/Ansatz:

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Du könntest mal anfangen damit, die Schnittpunkte zu finden und / oder die beiden Funktionen zu plotten.


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Die Funktion f ist gegeben durch \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x\)
Der Graph von f schließt mit der Parabel von g mit \(g (x) = \frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x\) , zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die den Punkt \(D (1|0)\) enthält.

Schnittpunkte bestimmen:

\( \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x=\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x|*4\)

\( 2x^3 - 12 x^2+16x=x^2- 2x\)

\( 2x^3 - 13 x^2+18x=0\)

\( x*(2x^2 - 13 x+18)=0\)

\( x₁=0\)

\( 2x^2 - 13 x=-18\)

\( x^2 - \frac{13}{2} x=-9\)

\( (x - \frac{13}{4})^2=-9+\frac{169}{16}=-\frac{144}{16}+\frac{169}{16}=\frac{25}{16}\)

\( (x - \frac{13}{4})^2=\frac{25}{16}  |\sqrt{~~}\)

1.)\( x - \frac{13}{4}=\frac{5}{4}  \)

\(x₂=\frac{18}{4} \)

2.)\( x - \frac{13}{4}=-\frac{5}{4}  \)

\( x₃=2 \)     \(D (1|0)\) liegt zwischen \( x₁=0\) und \( x₃=2 \)

Differenzfunktion:

\(d(x)= \frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-(\frac{1}{4}x^2- \frac{1}{2}x)=\frac{1}{2}x^3 - 3 x^2+4x-\frac{1}{4}x^2+ \frac{1}{2}x\)

\(d(x)=\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x\)

\(A= \int\limits_{0}^{2}(\frac{1}{2}x^3 - \frac{13}{4} x^2+\frac{9}{2}x)*dx \)

u.s.w.

Falls eine negative Fläche herauskommt | | setzen.

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