Determinante berechnen von unbegrenzten Matrixen

Question

Aufgabe: Guten Tag, ich soll die Determinante folgender Matrix berechnen, wie mach ich es bei eine n x n Matrix für n Element aus natürlichen Zahlen

die Matrix wäre

3	1	1	....	...	1
1	3	1	....	....	1
1	1	3	....	....	1
...	....	....	....	....	...
.....	....	...	1	3	1
1	...	....	1	1	3

…

Problem/Ansatz: für eine gegebene feste Matrix, kann ich das mit dem Spaltenentwicklungssatz realisieren, aber wie gehe ich bei solch einer vor?

Comments

Alle Zeilensummen sind gleich, also ist n+2 ein Eigenwert. Außerdem ist Rang(A_n - 2E_n) = 1, also ist 2 ein (n-1)-facher Eigenwert. D.h. det(A_n) = (n+2)·2^n-1.

Answer 1

Ist halt von der Größe n x n und da kannst du ja auch mit dem Entwicklungssatz

arbeiten in der Hoffnung, dass man so eine Art Rekursion findet:

\(  \begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & \dots &\dots & 1\\ 1&3 & 1 & \dots &\dots & 1\\  1 & 1 & 3 & \dots &\dots & 1\\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\ \dots &\dots &\dots&1&3&1  \\ 1 &\dots &\dots&1&1&3 \end{pmatrix} \)

Vielleicht erst mal 1. Zeile minus zweite:

\(  \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0 & 0 &0 & 0\\ 1&3 & 1 & \dots &\dots & 1\\  1 & 1 & 3 & \dots &\dots & 1\\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\ \dots &\dots &\dots&1&3&1  \\ 1 &\dots &\dots&1&1&3 \end{pmatrix} \)

Wenn man jetzt nach der 1. Zeile entwickelt hat man anfangs

jedenfalls (wenn Dn die Determinate bei n x n ist do was wie

D_n = 2* D_n-1 - 2*X und das X ist die Determinante von

\(  \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots &\dots & 1\\ 1&3 & 1 & \dots &\dots & 1\\  1 & 1 & 3 & \dots &\dots & 1\\ \dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\dots\\ \dots &\dots &\dots&1&3&1  \\ 1 &\dots &\dots&1&1&3 \end{pmatrix} \)

allerdings jetzt mit (n-1) Zeilen und Spalten. Vielleicht geht es auch hier mit

1. Zeile minus 2. Zeile sinnvoll weiter, denn danach hat man ja in der 2. Zeile nur noch ein von 0 verschiedenes Element.

Answer 2

Ich betrachte die Matrix

\(\small A \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&1\\1&a&1&1\\1&1&a&1\\1&1&1&a\\\end{array}\right)\)

und komme durch Umformung auf

\(\small A_4 \, :=  P\, \left(\begin{array}{rrrr}a + 3&0&0&0\\0&a - 1&0&0\\0&0&a - 1&0\\0&0&0&a - 1\\\end{array}\right) \,Q \)

Determinant(A₄)=(a - 1)^3  (a + 3)

das für n+1 und a=3 zu beweisen überlasse ich Dir ;-)