Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Newton

Question

Aufgabe:

Eine homogene Kette der Länge 200cm wird über eine Stange so gehalten, dass sie auf der einen Seite 80cm und auf der anderen Seite 120cm herunterhängt. Wird sie losgelassen, so gleitet sie reibungsfrei unter dem Einfluss der Schwerkraft von der Stange. Nach welcher Zeit ist das Kettenende ganz oben?

Problem/Ansatz:

Als Lösung der DGL würde ich auf die folgende kommen:

$$x(t) = \frac{1}{2} \cdot \frac{120 - 80}{120 + 80} \cdot g \cdot t^2 + c_1 \cdot t + c_2$$

Da die Kette am Anfang festgehalten wird ist die Anfangsgeschwindigkeit für t = 0 ebenfalls 0 und daraus folgt, dass $$c_1 = 0$$. Das Ende der Kette hängt noch 80 cm nach unten und deshalb ist $$c_2 = - 80 cm$$. Wäre die Lösung so korrekt?

Answer 1

Hallo David,

wenn \(x(t)\) eine quadratische Funktion über der Zeit ist, dann ist die Beschleunigung \(\ddot x(t)\) eine Konstante. Dies ist aber hier nicht der Fall, also kann die Lösung nicht korrekt sein. IMHO sollte die DGL lauten (\(l_0\) ist die Gesamtlänge der Kette von \(l_0=2\,\text{m}\), \(g\) ist die Erdbeschleunigung und \(x\) ist die Position des nach oben laufenden Kettenendes)$$\ddot x(t)=g \frac{l_0 + 2x(t)}{l_0}$$mit der allgemeinen Lösung$$x(t) = -\frac{l_0}{2} + c_1e^{t\sqrt{2g/l_0}} + c_2 e^{-t\sqrt{2g/l_0}}$$aus den Anfangsbedingungen ergeben sich die Konstanten \(c_1\) und \(c_2\)$$c_1 + c_2 = \frac{l_0}{2} + x_0 = 0,2\,\text{m}\\ c_1 - c_2 = 0 \implies c_1=c_2 = 0,1\,\text{m}$$Hier ein Schaubild. Die blaue Kurve zeigt \(x(t)\) die rote Kurve ist die Beschleunigung um den Faktor 10 reduziert \(\ddot x(t)/10\), damit es auf's Bild passt.

https://www.desmos.com/calculator/ay1xgqezbl

Deine Lösung ist gestrichelt und lila eingezeichnet. Hier wäre die Beschleunigung über \(t\) konstant \(\ddot x = g/5\).

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Ich hatte angenommen, dass man das System als eine Art Adwoodsche Fallmaschine annehmen kann. Wie genau kommt man auf die von dir aufgestellte DGL?

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Die Längendifferenz und damit die beschleunigende Masse nimmt mit der Zeit (ursächlicher: mit dem bereits zurückgelegten Weg) zu.

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In der Adwoodsche Fallmaschine ist die Beschleunigung konstant, da die Masse des Seils (bzw. der Kette), die die beiden Gewichte \(M_1\) und \(M_2\) verbindet, klein ist gegenüber \(M_1\) und \(M_2\).

Hier ist dagegen von einer homogenen Kette die Rede. Sie rutscht reibungsfrei über eine Stange, d.h. es existiert auch keine Masse einer Rolle, die für die Bewegung beschleunigt werden müsste.

Zur Beschleunigung trägt nur der Teil \(\Delta l\) der Kette bei, der über das obere Ende hinaus überhängt. $$\ddot x(t)= g \frac{\Delta l}{l_0}$$Und die Länge dieses Stücks ist \(\Delta l = l_0 + 2x\) 'Plus' deshalb, weil im gesamten Definitionsbereich \(x \le 0\) gilt.

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Stimmt das hatte ich nicht beachtet, dass sich Masse bzw. Länge mit der Zeit ändern. Vielen Dank für die Hilfe jetzt habe ich es verstanden.