limes mit Potenzreihe

Question

Aufgabe:

(a) Es sei f(x) = \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{a_xxⁿ} \) eine Potenzreihe mit Konvergebzradius R > 0. Bestimmen Sie für n ∈ ℕ:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{f(x) - \sum\limits_{k=0}^{\n}{a_kx^k}}{xⁿ⁺¹} \)

(b) Berechnen Sie (ohne l´Hospital) den Grenzwert

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{cosx - 1 + x^{2}/2-x^{4}/24}{x^{6}} \)

Problem/Ansatz:

(a) Das Summenzeichen verwirrt uns im Zusammenhang, wodurch wir nicht wissen, wie wir die Aufgabe lösen können.

(b) kein Ansatz (kurz vor Exmartikulation).

Answer 1

Zu b) Ist hier nicht der Limes \(x\to 0\) gemeint?

Wenn ja, betrachte den Anfang der cos-Reihe bis zur 6-ten x-Potenz und

subtrahiere davon \(1-x^2/2+x^4/24\).

Dann bleibt im Zähler \(???* x^6\) übrig.

Der Wert ??? ist damit das gesuchte Ergebnis ....

Comments

Ja, der limes läuft hier gegen 0. Tut mir leid. Könntest du vielleicht nochnal auf dein Vorgehen eingehen, da ich nicht ganz durchblicken kann, wie das funktioniert.

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Die cos-Reihe beginnt so:

\(1-x^2/2+x^4/24-x^6/144+x^8( ... )\).

Der Zähler unseres Ausdrucks ist also

\(-x^6/144+x^8( ... )\). Teilt man dies durch \(x^6\), so bleibt

\(-1/144+x^2( ,,, ) \to -1/144\) für \(x\to 0\).

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Nein, 144 ist dort im Nenner falsch.

Die Frage wurde hier schon diskutiert:

https://www.mathelounge.de/991656/lhopital-cosinus-einschliessungslemma-berechnen-problem#c991668

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Sorry! Statt 144 muss es 720 heißen.
Ist halt nichts, wenn man sich beim Errechnen
von Fakultäten als unfähig erweist!

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Korrigierte Fassung:

Die cos-Reihe beginnt so:

\(1-x^2/2+x^4/24-x^6/720+x^8( ... )\).

Der Zähler unseres Ausdrucks ist also

\(-x^6/720+x^8( ... )\). Teilt man dies durch \(x^6\), so bleibt

\(-1/720+x^2( ,,, ) \to -1/720\) für \(x\to 0\).