Bestimmen Sie ein A ∈ {M}_{2 \times 2}(ℝ) mit (\begin{array}{c}f(n+2) \\ f(n+1) \end{array}) =A ·(\begin{array}{c} …

Question

Hallo mal wieder an alle Mathematiker,

Heute habe ich eine Aufgabe, bei der ich sicher sein möchte, dass ich sie mathematisch Richtig aufgeschrieben habe. Sie geht wie folgt:

Sei \( V:=\operatorname{Abb}(\mathbb{N}, \mathbb{R}) \) und \(U:=\{f \in V \mid f(n+2)=2 f(n+1)+3 f(n) \text { für alle } n \in \mathbb{N}\} \text {. }\)

(a) Bestimmen Sie ein \( A \in \mathrm{M}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) mit \(\left(\begin{array}{c}f(n+2) \\ f(n+1) \end{array}\right) =A \cdot\left(\begin{array}{c} f(n+1) \\ f(n) \end{array}\right) \)

für alle \( f \in U, n \in \mathbb{N} \). Bestimmen Sie die Eigenwerte von \( A \) und eine Basis von \(V_{2}(\mathbb{R}) \) aus Eigenvektoren.

(b) Geben Sie mit Hilfe von (a) für alle \( f \in U \) eine allgemeine Formel für \( f(n) \) in Abhängigkeit von \( f(1), f(2) \) und \( n \) an.

Problem/Ansatz:

Den ersten Teil der a) sollte ich hinbekommen. Da eine Definition von f(n+2) gegeben ist, hätte ich diese einfach eingesetzt und für alles andere umgestellt und dann ein A ausgerechnet. Auch die Eigenwerte sollte ich berechnet bekommen, allerdings bin ich mir beim 3. Teil nicht ganz sicher, wie ich das Ausrechnen soll. Einfach die Eigenwerte auf lineare Unabhängigkeit überprüfen ?

Für die b) hab ich leider noch keinen Ansatz.

Ich bedanke mich wie immer für jede Hilfe oder Lösungsvorschläge

Comments

Ein Vorschlag: Es gilt \(A\cdot\begin{pmatrix}f(n+1)\\f(n)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(n+2)\\f(n+1)\end{pmatrix}\). Induktiv folgt \(A^n\cdot\begin{pmatrix}f(2)\\f(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f(n+2)\\f(n+1)\end{pmatrix}\).
Diagonalisiere die Matrix: \(\ A=S\cdot D\cdot S^{-1}\). Damit gilt \(A^n=S\cdot D^n\cdot S^{-1}\).

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Also zu aller erst mal, vielen Dank für deine Antwort. Ein paar kurze Fragen hätte ich aber doch noch zu deinem Vorschlag: Welche Matrix ist mit S und D gemeint ? Die Elementarmatrizen S^(i,j) ? Des weiteren wäre das kleinste n für die Induktion nicht 0, weil f aus den natürlichen Zahlen kommt ?

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A ist diagonalisierbar. D.h. es existiert eine Basis von \( \mathbb R^2 \) die aus Eigenvektoren von A besteht. Diese musst du bestimmen.

Die Vektoren dieser Basis sind dann die Spalten von \( S \). \( D \) ist eine Diagonalmatrix auf deren Diagonale die Eigenwerte von A stehen. Die Reihenfolge der Eigenwerte hängt dabei von der Reihenfolge der Eigenvektoren in \( S \) ab.

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Ok. Ich habs mal durchgerechnet. Ich habe für die Matrix A=[1,1],[1,0] rausbekommen.

Wenn ich dafür die charakteristische Gleichung det(A-lambda*E) = 0 löse komme ich auf die Eigenwerte: lambda_1 = 1+ sqrt(5), lambda_2 = 1-sqrt(5)

Mit Vektoren: v1 = ( sqrt(5)-1, 1) und v2 = (1, sqrt(5)-1), was dann auch die Basis sein sollte.

So richtig ?

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Dann wäre \(f(n+2)=f(n+1)+f(n)\). Besser ist \(A=\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}\).

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Sicher, dass (2,3)(1,0) passt ? Ich hab es mal versucht aber bei beiden lambda für v2=0 rausbekommen. Außerdem war f(n+2) = f(n+1) + f(n) doch das gesuchte, oder ?

Für die b) hab ich übrigens jetzt auch etwas:

Wenn ich die Ursprüngliche Matrix verwende komme ich auf: f(n) = [f(2),(f(1)] * A * [1,0]

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Außerdem war f(n+2) = f(n+1) + f(n) doch das gesuchte, oder ?

In der originalen Fragestellung heißt es

f(n+2) = 2f(n+1) + 3f(n)