Partielle Ableitung mit Stationären Punkte

Question

Aufgabe:

mir liegt die zweite partielle Ableitung vor:

fxx(x,y) = 12x^2 und fxy(x,y) = fyx(x,y) = 8 und fyy(x,y) = 4

Problem/Ansatz:

ich soll die Extremwerte oder Sattelpunkte mit angegeben stationären Punkten herausfinden, hab aber das Problem das ich nicht weiß wie ich das ganze lösen soll! P1 = (0;0) P2 = (2; -4) habe bis jetzt auch nichts ähnliches gefunden.

Answer 1

Du musst und kannst nicht die Extremwerte bestimmen. Aber du kannst die Art des stationären Punktes bestimmen.

Dazu setzt du die gegebenen Punktkoordinaten in die 2. Ableitungen ein und untersuchst die Hessematrix auf Definitheit:

$$H_f(x,y)= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

\(P_1(0,0)\):

$$H_f(0,0)= \begin{pmatrix} 0 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$$

Hier kannst du das Hauptminorenkriterium nicht anwenden und musst schauen, welche Vorzeichen die Eigenwerte haben. Du erhältst in diesem Fall Eigenwerte mit wechselndem Vorzeichen \(\Rightarrow\) Sattelpunkt.

\(P_2(2,-4)\):

$$H_f(2,-4)= \begin{pmatrix} 48 & 8 \\ 8 & 4 \end{pmatrix}$$

Hier kannst du das Hauptminorenkriterium anwenden. Die Matrix ist positiv definit \(\Rightarrow\) lokales Minimum.

Comments

Vielen Dank!