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Aufgabe:

Gegeben sei eine Zufallsstichprobe \( X_{1}, \ldots X_{n} \). Wir interssieren uns für den Erwartungswert der zugrundeliegenden Verteilung, also \( E(X)\left(=E\left(X_{1}\right)=E\left(X_{2}\right)=\cdots=E\left(X_{n}\right)\right) \). Gegeben seien zwei Schätzfunktionen für \( E(X) \) :

\( \bar{X}_{n}=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \)

Ist Xn erwartungstreu?


Problem/Ansatz:

Mein Ansatz/Versuch: X¯n =Pni=1Xi => (X1+ ... +Xn)=> E(X¯)= (E(X1)+ ...+ E(Xn) => ( θ* θ*...* θ) => (n* θ) =  nθ, d.h. ist X¯ nicht erwarungstreu. Für E(X)(= E(X1) = E(X2) = · · · = E(Xn)) = θ. Ist das richtig oder quatsch?

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Erstmal: welche Verteilung liegt den da zu Grunde?

Eine diskrete Verteilung.

Das ist doch keine konkrete Verteilung? Binomialverteilung, Bernoulli Verteilung... Oder eine konkrete wahrscheinlichkeitsfunktion, die gegeben ist?

In der Aufgabe davor ist das gegeben:

Text erkannt:

Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable \( X \), die mit 50\%iger Wahrscheinlichkeit den Wert 1 annimmt, und mit jeweils \( 25 \% \) iger Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 2 .

Screenshot 2023-01-26 134449.jpg

1 Antwort

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Unter der Angabe aus der Aufgabe davor, ist \(X\sim \mathrm{Bin}(2;0,5)\). Es ist also \(E[X]=1\).

Folglich ist aber, wie hier schon richtig erkannt wurde, \(E[\sum X_i]=\sum E[X_i]= nE[X_1]=n\neq 1\). Diese Rechnung gilt aber auch unabhängig von der Verteilung.

Außerdem ist bekannt, dass \(\overline{X}_n=\frac{1}{n}\sum X_i\) erwartungstreu ist. Der Faktor \(\frac{1}{n}\) ist also nötig.

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