Hallo,
man könnte die Aufgabe um eine Dimension reduzieren, da das ganze symmetrisch zur Ebene \(x=y\) ist. Aber es ändert sich nichts am Prinzip der Lösung, daher mache ich es nicht.
Gesucht ist ein Punkt \(Q\), der zu einem anderen Punkt \(P=(1|1|0,5)^T\) den kleinsten Abstand ab. Idealerweise sucht man das kleinste Quadrat des Abstands, da sich dies leichter rechnen lässt. Und als Nebenbedingung soll \(Q\) auf dem Paraboliden liegen$$\left(X-P\right)^2 \to \min \quad \text{NB.:}\space z=x^2+y^2 \quad P=\begin{pmatrix} 1\\1\\ 0,5 \end{pmatrix}, \space Q=\begin{pmatrix} x\\y\\ z \end{pmatrix}$$Lagrange-Gleichung aufstellen nach \(x\), \(y\) und \(z\) ableiten, 0-setzen und \(\lambda\) eliminieren$$L(x,y,z,\lambda) = (x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-0,5)^2 + \lambda(x^2+y^2 - z) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 2(x-1) + 2\lambda x\to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y-1)^2 + 2\lambda y \to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2(z-0,5) - \lambda \to 0 \implies \lambda = 2z-1\\ x-1 + x(2z-1) = 0 \implies 2xz=1\\ y-1 + y(2z-1) = 0 \implies 2yz = 1 \\ \implies z = \frac{1}{2x} \land x=y \\ \frac{1}{2x}=2x^2 \implies x=y=\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \approx 0,630$$wenn man am Ende den Zusammenhang \(z=1/(2x)\) in die Nebenbedingung einsetzt, dann kommt zum Minimum.
Dass es sich um ein Minimum handelt, ist offensichtlich, wenn man sich das im Schnitt der \((x=y)\)-Ebene ansieht
https://www.desmos.com/calculator/5tuglpswqr
Gruß Werner
