Gemeinsamer Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ellipse

Question

für welches a ∈ ℝ hat die gerade g mit der ellipse e , genau einen punkt, bzw. keinen gemeinsamen punkt

g: ax - y= 5                     e:3x^2 + 2y² = 30

 

ich versteh dass ganze beispiel nicht -.- biite um hilfe :/

Answer 1

a·x - y = 5
y = a·x - 5

Das setzte ich in die Ellipsengleichung ein

3·x^2 + 2·y^2 = 30
3·x^2 + 2·(a·x - 5)^2 = 30
2·a^2·x^2 + 3·x^2 - 20·a·x + 50 = 30
(2·a^2 + 3)·x^2 - 20·a·x + 20 = 0

Diskriminante in der Mitternachtsformel b^2 - 4·a·c bestimmt über die Anzahl der Lösungen

(- 20·a)^2 - 4·(2·a^2 + 3)·(20) = 240·(a^2 - 1)

Für a = ± 1 gibt es eine Tangente.

Für a < -1 ∨ a > 1 gibt es eine Sekante also 2 Schnittpunkte.

Für -1 < a < 1 gibt es eine Passante also keinen Schnittpunkt.

Answer 2

g: \(ax - y= 5\)   \( y= ax-5\)  mit \(m_g=a\)

e: \(3x^2 + 2y^2 = 30\)     \(y^2 = 15-1,5x^2\)        \(y= ±\sqrt{15-1,5x^2}\)     \(y'=\frac{-1,5x}{\sqrt{15-1,5x^2}} \)

\(\frac{-1,5x}{\sqrt{15-1,5x^2}}=a \)

\(x_1=- \frac{2a\sqrt{5}}{\sqrt{2a^2+3}} \)

\(x_2= \frac{2a\sqrt{5}}{\sqrt{2a^2+3}} \)

\(x_1^2= \frac{20a^2}{2a^2+3} \)

Wenn ich nun diese Werte bei GeoGebra eingebe, erhalte ich die Berührpunkte der Geraden auf der Ellipse.

Wie bekomme ich nun \(a_1=1\)  bzw \(a_2=-1\)??

2 Schnittpunkte sind dann im Bereich \(-1>a>-∞\)    oder  \(∞>a>1\)

Keinen Schnittpunkt gibt es im Bereich  \(-1<a≤0\)      oder    \(0≤a<1\)