Länge eines Kurvenstücks zwischen zwei Punkten

Question

Gegeben ist die Kurve \( K \subset \mathbb{R}^{3} \) durch:
\( \gamma(t)=\left(\begin{array}{c} 1-t \\ \sqrt{3} t \\ \sqrt{t^{3}} \end{array}\right) \quad, \quad t \geq 0 . \)
Bestimmen Sie die Länge des Kurvenstücks von \( A(1,0,0) \) nach \( B(0, \sqrt{3}, 1) \).

Wie genau mache ich das zwischen diesen Punkten? Muss ich t so wählen, dass die Vektoren A und B rauskommen und dann das Integral mit diesen beiden t's als grenzen? Das wäre ja dann 0 bis 1. Die Funktion zu bestimmen hab ich auch probleme mit, ich brauche ja die Euklidische Norm von der ersten Ableitung von Gamma.

Answer 1

Aloha :)

Offensichtlich ist \(\gamma(t=0)=(1;0;0)\) und \(\gamma(t=1)=(0;\sqrt3;1)\).

Daher bietet sich folgende Substituion an:$$L=\int\limits_{(1;0;0)}^{(0;\sqrt3;1)}\!\!\!dr=\int\limits_{t=0}^1dr(t)=\int\limits_{t=0}^1\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_{t=0}^1\left\|\begin{pmatrix}-1\\\sqrt3\\\frac32\sqrt t\end{pmatrix}\right\|dt=\int\limits_{t=0}^1\sqrt{1+3+\frac94t}\,dt$$$$\phantom L=\int\limits_{t=0}^1\left(4+\frac94t\right)^{\frac12}dt=\left[\left(4+\frac94t\right)^{\frac32}\cdot\frac23\cdot\frac49\right]_{t=0}^1=\frac{4^{\frac32}}{27}\left[\left(4+\frac94t\right)^{\frac32}\right]_{t=0}^1$$$$\phantom L=\frac{1}{27}\left[\left(16+9t\right)^{\frac32}\right]_{t=0}^1=\frac{1}{27}\left(25^{\frac32}-16^{\frac32}\right)=\frac{1}{27}\left(125-64\right)=\frac{61}{27}$$

Answer 2

Es ist tatsächlich so:

\(A = \gamma (0)\) und \(B = \gamma (1)\).

Jetzt musst du nur noch das zugehörige Integral berechnen:

\(\int_0^1\sqrt{\dot\gamma(t)\cdot \dot\gamma(t)}\; dt\)

\(\dot\gamma(t)\) erhältst du durch komponentenweise Differentiation nach \(t\):

\(\dot \gamma (t) = (-1, \sqrt 3 , \frac{3 \sqrt t }{2})^T\)

Jetzt noch Skalarprodukt und Wurzel ziehen:

\(\int_0^1\sqrt{4+\frac 94 t}\; dt = \frac{61}{27}\)

Comments

Vielen Lieben Dank!