Punkte auf Kurve mit Gleichung 2x^2+xy+y^2-8=0 mit horizontaler Tangente?

Question

Die gesamte Aufgabe lautet:

Eine Kurve in der xy-Ebene sei gegeben durch die Gleichung 2x²+xy+y²-8=0.

(a) Bestimmen Sie y', y'' und die Gleichung für die Tangente im Punkt (2,0)

(b) Welche Punkte auf der Kurve haben eine horizontale Tangente?

 

(a) Diese Aufgabe konnte ich komplett lösen. Ich erhielt y'=-(4x+y)/(x+2y) und die Tangentengleichung y=-4x+8

Doch wie muss ich nun (b) lösen?

Answer 1

(a) Diese Aufgabe konnte ich komplett lösen. Ich erhielt y'=-(4x+y)/(x+2y) und die Tangentengleichung y=-4x+8

Doch wie muss ich nun (b) lösen?

Hier musst du die Ableitung Null setzen. (Zähler Null und Nenner nicht gleichzeitig Null)

2x²+xy+y²-8=0. y = -4x einsetzen

2x²-4x^2+16x²-8=0.

14x^2 = 8

x^2 = 8/14 = 4/7

x = ±2/√7

x1 = 2/√7, y1 = -8/√7

x2= -2/√7, y2= 8/√7

Es handelt sich übrigens um eine Ellipse: Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=+2x%5E2%2Bxy%2By%5E2-8%3D0

Die Tangentengleichung ist offenbar ok: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+2x%5E2%2Bxy%2By%5E2-8%3D0%2C+y%3D-4x%2B8++

Comments

Wie erhält man ±2/√7? :)

---

Quadratische Gleichung auflösen. Habe das farbig eingefügt.

---

Ah, so dumm von mir. Ich habe übersehen dass ich alle x zusammen nehmen kann ;) Vielen Dank für die Erklärung! :D

Answer 2

(b) Welche Punkte auf der Kurve haben eine horizontale Tangente?

\(f(x,y)=2x^2+xy+y^2-8\)

\(\frac{df(x,y)}{dx}=4x+y\)

\(4x+y=0\)

\(y=-4x\) einsetzen in  \(2x^2+xy+y^2=8\) ergibt die Berührstellen der horizontalen Tangente.