Partielle-Integration mit Rechenweg

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

e) \( \int 4 \cos ^{2}\left(\frac{1}{2} x\right) d x \)

Problem/Ansatz:

Kann jemand diese Aufgabe mit den Schritten durch partieler integration lösen?

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int4\cos^2\frac x2\,dx$$$$\phantom I=\int\underbrace{4\cos\frac x2}_{=u}\cdot\underbrace{\cos\frac x2}_{=v'}\,dx=\underbrace{4\cos\frac x2}_{=u}\cdot\underbrace{2\sin\frac x2}_{=v}-\int\underbrace{\left(-2\sin\frac x2\right)}_{=u'}\cdot\underbrace{2\sin\frac x2}_{=v}\,dx$$$$\phantom I=\underbrace{8\cos\frac x2\sin\frac x2}_{=4\sin x}+\int4\sin^2\frac x2\,dx=4\sin x+\int4\left(1-\cos^2\frac x2\right)dx$$$$\phantom I=4\sin x+4x-\int4\cos^2\frac x2\,dx=4\sin x+4x-I$$Diese Gleichung kannst du nach \(I\) auflösen:$$I=\int4\cos^2\frac x2\,dx=2x+2\sin x+\text{const}$$

Answer 2

Mit Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/

Comments

Dein link hilft mir nicht. Er benutzt nicht die Partielle-Integration