Geben Sie die irreduziblen Faktoren von X3 + X + 2 ∈ IF3[X] an

Question

Aufgabe:

Geben Sie die irreduziblen Faktoren von X³ + X + 2 ∈ IF₃[X] an. (Schreiben Sie die Elemente in
IF₃ als 0, 1, 2.)

Kann mir jemand mit dieser Frage helfen?

Die NST habe ich x = 2 gefunden und bin mir nicht sicher, ob es richtig ist.
Wie soll ich weitermachen?

Answer 1

p(x) = X³ + X + 2 ∈ IF3[X]   Da geht es ja wohl um Polynome

über dem Körper F3

Für 0-Stellen gibt es die drei Kandidaten 0,1,2.

p(0)=2   also ist 0 keine.

p(1) = 1+1+2=1 auch keine

p(2)= 8+2+2 =12 = 0 also stimmt: Nullstelle 2.

Dann Polynomdivision durch (x-2)

(X³ + X + 2 ) : ( x-2) = x² +2x + 2
x³ -2x²
----------
    2x² + x + 2
    2x² -4x
    -------------------
          2x + 2 
          2x - 4
          ------------
                    0

Also p(x) = ( x-2) (x² +2x + 2) = ( x+1) (x² +2x + 2).

Comments

Besser vielleicht X³ + X + 2 = (X + 1)·(X² + 2X + 2).

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Danke, man sollte ja 0,1,2 verwenden.

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Vielen Dank!
Das war sehr hilfreich.

Hier soll ich die Antwort nicht als (0,1,1) * (1,2,2) schreiben, oder ?

"(Schreiben Sie die Elemente in
IF3 als 0, 1, 2.)" 

Heißt dass also nur, dass ich (x+1) statt (x-2) schreiben soll?

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Genau so ist es.

Answer 2

Wie soll ich weitermachen?

Da \(x=2\) eine Nullstelle ist, ist das

gegebene Polynom durch \((X-2)=(X+1)\) teilbar.

Führe diese Polynomdivision durch.

Ich bekomme so als Zerlegung:

\(X^3+X+2=(X+1)(X^2+2X+2)\).

Nun prüfe, ob der 2-te Faktor eine Nullstelle besitzt ...

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort! Das war sehr hifreich :)